[논문 리뷰] Some upper and lower bounds on PSD-rank

Troy Lee, Zhaohui Wei외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 16.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양의 정부호 랭크(PSD-rank)에 대한 새로운 상계와 하계를 확립하며, 단지 지원 패턴이 아닌 행렬 원소에 의존하는 양자 통신 기반 기법을 도입한다. 이는 내적 행렬 $\mathrm{IP}_n$의 PSD-rank가 짝수인 $n$일 때 최대 $2\sqrt{N}$이며, 홀수인 $n$일 때 $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$임을 증명함으로써, 통신 복잡도 이론에서 핵심적인 열린 문제를 해결하고 이전의 지원 패턴에 국한된 방법을 초월한 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Positive semidefinite rank (PSD-rank) is a relatively new quantity with applications to combinatorial optimization and communication complexity. We first study several basic properties of PSD-rank, and then develop new techniques for showing lower bounds on the PSD-rank. All of these bounds are based on viewing a positive semidefinite factorization of a matrix $M$ as a quantum communication protocol. These lower bounds depend on the entries of the matrix and not only on its support (the zero/nonzero pattern), overcoming a limitation of some previous techniques. We compare these new lower bounds with known bounds, and give examples where the new ones are better. As an application we determine the PSD-rank of (approximations of) some common matrices.

연구 동기 및 목표

• 행렬 원소에 의존하는 PSD-rank의 하계를 도출하기 위한 새로운 기법을 개발하는 것, 특히 지원 패턴에만 의존하는 것이 아니라.
• PSD-rank의 행동에 관한 열린 질문을 해결하는 것, 특히 텐서 곱에 대한 곱셈성과 체의 종속성(실수 vs. 복소수)을 포함하여.
• 기본 행렬인 내적 행렬과 비등가 행렬의 정확한 渐近 PSD-rank를 규명하는 것.
• 통신 복잡도 행렬, 특히 $\mathrm{IP}_n$과 $\mathrm{NE}_n$에 대해 PSD-rank에 대한 날것의 상계를 제공하는 것.
• PSD-rank를 양자 통신 프로토콜과 연결하여 복잡도 이론에 대한 새로운 분석 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 공유 양자 얽힘을 사용하여 양의 정부호 분해를 양자 통신 프로토콜로 모델링하며, 양의 정부호 행렬의 추적 내적을 통해 행렬 원소를 시뮬레이션한다.
• 특히 양자 통신 복잡도를 분석함으로써 PSD-rank의 하계를 유도하며, 특히 양자 얽힘을 동반한 일방 통신 프로토콜을 고려하여 프로토콜 성공 확률과 행렬 랭크 간의 관계를 연결한다.
• 상계를 위해, $\mathrm{IP}_n$의 구조에 기반한 재귀적 블록 행렬 구성 방식을 사용하여 실수 값의 랭크 1 PSD 분해를 명시적으로 구성한다.
• 행렬의 행을 이용한 블록 행렬 분해를 통해 $\mathrm{IP}_n$을 더 작은 내적 행렬과 전부 1인 블록으로 분해하고, 행렬의 랭크 불등식을 적용한다.
• 행렬 $M_n$을 수정하여 그 히르미트 곱과 그 켤레의 곱이 $\mathrm{IP}_n$이 되도록 하여, PSD-rank에 대한 랭크 기반 상계를 가능하게 한다.
• 첫 번째 블록 행을 다른 블록에 더한 후 변형된 블록 행렬의 랭크를 분석함으로써 문제를 흩어진 블록의 랭크를 bound하는 것으로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지원 기반 하계의 한계를 넘어, 행렬 원소에 의존하는 방법을 통해 PSD-rank를 경계할 수 있는가?
• RQ2 PSD-rank는 텐서 곱에 대해 엄격히 곱셈성이 있는가? 만약 그렇지 않다면, 완전한 곱셈성을 방해하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 실수 대칭 행렬에 국한된 분해와 복소 헤르미트 행렬에 국한된 분해 간에 PSD-rank가 다를 수 있는가?
• RQ4 내적 행렬 $\mathrm{IP}_n$의 정확한 渐近 PSD-rank는 무엇인가?
• RQ5 양자 통신 프로토콜을 사용하여 일반적인 통신 행렬에 대한 PSD-rank에 대한 날것의 상계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $n$ 큐비트 내적 행렬 $\mathrm{IP}_n$의 PSD-rank는 $n$이 짝수일 때 $N = 2^n$이면 최대 $2\sqrt{N}$이다.
• 홀수인 $n$일 경우 $\mathrm{IP}_n$의 PSD-rank는 최대 $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$이며, 이는 이전의 경계를 향상시킨다.
• 저자들은 $n/2+1$ 큐비트를 사용하는 일방적 양자 프로토콜을 구성하여 $\mathrm{IP}_n$의 기대값을 계산함으로써 PSD-rank에 대한 상계를 유도한다.
• PSD-rank가 텐서 곱에 대해 엄격히 곱셈성이 아니라는 것을 보이며, $\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P \otimes P) < \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)^2$를 만족하는 반례를 제시한다.
• 실수 PSD-rank는 복소수 PSD-rank보다 渐近적으로 $\sqrt{2}$ 배 더 클 수 있으며, 이는 체 종속성에 관한 질문을 해결한다.
• 새로운 경계는 지원 기반 방법의 한계를 극복하며, 이는 행렬 랭크를 초과할 수 없고, 랭크는 작지만 PSD-rank는 큰 행렬(예: $\mathrm{IP}_n$)에 대해 더 날것의 경계를 제공한다.