[논문 리뷰] Some ways to reconstruct a sheaf from its tautological image on a Hilbert scheme of points

Andreas Krug, Jørgen Vold Rennemo|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 차원 ≥ 2인 부드럽고 준사영적인 다양체 $X$에 대해, Hilbert 스킴 $X^{[n]}$ 상의 보편 가닥층과 그 이상의 가닥층에 沿한 Fourier–Mukai 변환이 좌역인자를 갖는다는 것을 증명한다. 이는 두 함자들이 동형류에 대해 충실하고 완전충실하다는 것을 보장하며, $ℓ(X)$ 내의 대상들이 $X^{[n]}$ 상의 타우토로지컬 이미지로부터 완전히 재구성될 수 있음을 허용한다. 이는 이전의 벡터(bundle)에 국한된 결과를 일관된 가닥층과 호모토피 범주론으로 확장한다.

ABSTRACT

For $X$ a smooth quasi-projective variety and $X^{[n]}$ its associated Hilbert scheme of $n$ points, we study two canonical Fourier--Mukai transforms $D(X) o D(X^{[n]})$, the one along the structure sheaf and the one along the ideal sheaf of the universal family. For $\dim X\ge 2$, we prove that both functors admit a left-inverse. This means in particular that both functors are faithful and injective on isomorphism classes of objects. Using another method, we also show in the case of an elliptic curve that the Fourier--Mukai transform along the structure sheaf of the universal family is faithful and injective on isomorphism classes. Furthermore, we prove that the universal family of $X^{[n]}$ is always flat over $X$, which implies that the Fourier--Mukai transform along its structure sheaf maps coherent sheaves to coherent sheaves.

연구 동기 및 목표

• 유도 범주 $ℓ(X)$ 내의 대상이 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$ 상의 타우토로지컬 이미지로부터 재구성될 수 있는지 여부라는 근본적인 질문을 다루는 것.
• 이전 결과들이 곡선이나 표면 상의 벡터(bundle)에 국한되어 있던 것을, 더 이상 벡터(bundle)에 국한되지 않고 고차원 다양체로 일반화하는 것.
• 보편 가닥층과 그 이상의 가닥층에 대해 두 개의 표준 Fourier–Mukai 함자에 대해 충실성과 동형류에 대한 단사성을 확립하는 것.
• 보편 가닥층 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ 가 $X$ 상에서 평탄함을 증명하여, 타우토로지컬 구성이 일관성을 유지함을 보장하는 것.
• 다중그래프와 자기동형사상 기반의 새로운 재구성 방법을 제시하여, 특히 타원곡선과 아벨 다양체에 특히 적용 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 기하학적 및 범주론적 기법을 사용하여 타우토로지컬 Fourier–Mukai 변환 $E \mapsto E^{[n]} = p_*q^*E$ 에 대한 좌역인자 함자를 구성하는 것.
• 보편 가닥층 $\Xi_n$ 이 $X$ 상에서 평탄함을 이용하여, $E$ 가 일관적일 경우 $E^{[n]}$ 도 일관적임을 보장하는 것.
• $ℓ^n$-함수와 $ℓ^{n-1}$-함수 이론을 적용하여, 이상의 가닥층 $\mathcal{I}_{\Xi_n}$ 에 따라 정의된 두 번째 변환 $\mathsf{F}_n$ 을 분석하는 것.
• pairwise 등등가가 없는 $n+1$ 개의 자기동형사상 $\varphi_0, \dots, \varphi_n$ 을 사용하여 다중그래프 구조를 도입하고, $\psi_j: X \to X^{[n]}$ 를 클래스피잉 사상으로 정의하는 것.
• $ℓ(X)$ 의 Krull–Schmidt 성질을 활용하여, 모든 $j$ 에 대해 $\bigoplels_{i \neq j} \varphi_i^*(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \varphi_i^*(F)$ 이면 $E \cong F$ 라는 결론을 이끌어내는 것.
• 자기동형사상의 pairwise 등등가가 없는 조건을 만족할 경우, $\psi_j^* \circ (\underline{\ \ })^{[n]}$ 의 조합을 통해 타우토로지컬 함자가 충실함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $\geq 2$ 인 다양체에 대해, $ℓ(X)$ 내의 대상들이 $X^{[n]}$ 상의 타우토로지컬 이미지로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ2 Hilbert 스킴 $X^{[n]}$ 상의 보편 가닥층과 그 이상의 가닥층에 대해 정의된 Fourier–Mukai 함자들이 좌역인자를 갖는가?
• RQ3 차원 $\geq 2$ 인 다양체에 대해, 타우토로지컬 함자 $E \mapsto E^{[n]}$ 가 동형류에 대해 충실하고 단사적인가?
• RQ4 자기동형사상 기반의 구성 방법을 사용하여, 재구성 결과를 타원곡선과 아벨 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ5 다양체 $X$ 의 자기동형사상에 대해 어떤 조건이 타우토로지컬 함자가 동형류에 대해 단사적이게 하는가?

주요 결과

• 임의의 부드럽고 준사영적인 다양체 $X$ 에 대해, 보편 가닥층 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ 는 $X$ 상에서 평탄하며, $E$ 가 일관적일 경우 $E^{[n]}$ 도 일관적임을 보장한다.
• 차원 $\geq 2$ 인 경우, 타우토로지컬 함자 $E \mapsto E^{[n]}$ 과 이상의 가닥층에 따라 정의된 변환 $\mathsf{F}_n(E) = \mathsf{pr}_{X^{[n]}*}(\mathcal{I}_{\Xi_n} \otimes \mathsf{pr}_X^*E)$ 는 모두 좌역인자를 갖는다. 따라서 이들은 동형류에 대해 완전충실하고 단사적이다.
• 타원곡선에 대해서는 일반적인 차원 ≥ 2 결과가 적용되지 않지만, 타우토로지컬 함자 $E \mapsto E^{[n]}$ 는 여전히 동형류에 대해 충실하고 단사적이다.
• 모든 $n+1$ 개의 자기동형사상이 상호간에 등등가가 없는 부드럽고 사영적인 다양체 $X$ 에 대해, 타우토로지컬 함자 $E \mapsto E^{[n]}$ 는 동형류에 대해 단사적이다.
• 아벨 다양체의 경우, 상호간에 등등가가 없는 무한한 이동 부분군이 존재하므로, 함자 $E \mapsto E^{[n]}$ 은 동형류에 대해 단사적이다.
• Krull–Schmidt 범주에서는, 모든 $j = 0, \dots, n$ 에 대해 $\bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(F)$ 이면 $E \cong F$ 라는 결론이 도출되며, 이는 다중그래프 재구성 방법의 기초가 된다.