[논문 리뷰] Sorting Cayley permutations with pattern-avoiding machines

Giulio Cerbai|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 05.

semigroups and automata theory참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 반복 요소를 허용하는 순열인 Cayley 순열로 패턴 회피 스택 기계를 일반화하여, 어떤 패턴이 정렬 가능한 순열을 유도하는지 패턴 클래스로 특성화한다. $\sigma$-회피 스택 연산자를 통해 새로운 치환을 정의하고, 거북이 스택 정렬 가능한 순열을 네 가지 금지된 패턴을 통해 완전히 특성화하며, 그 수를 $3^{n-1}$으로 증명한다. 반면, 토끼 스택 정렬의 경우 향후 연구를 위해 열려 있다.

ABSTRACT

Pattern avoiding machines were recently introduced by Claesson, Ferrari and the current author to gain a better understanding of the classical $2$-stacksort problem. In this paper we generalize these devices by allowing permutations with repeated elements, also known as Cayley permutations. The main result is a description of those patterns such that the corresponding set of sortable permutations is a class. We also show a new involution on the set of Cayley permutations, obtained by regarding a pattern-avoiding stack as an operator. Finally, we analyze two generalizations of pop-stack sorting on Cayley permutations. In both cases we describe sortable permutations in terms of pattern avoidance.

연구 동기 및 목표

• 반복 요소를 허용하는 Cayley 순열로 패턴 회피 기계 이론을 확장한다.
• 고정된 패턴 $\sigma$에 대해 $\sigma$-제한 스택으로 정렬 가능한 순열 집합이 조합적 클래스가 되는 조건을 규명한다.
• 스택 연산자와 역순 연산자를 조합하여 Cayley 순열에 대한 새로운 치환을 정의하고 분석한다.
• 두 가지 변형인 토끼 및 거북이 스택 정렬을 통해 스택 정렬을 Cayley 순열로 일반화한다.
• 이 두 일반화에 대해 정렬 가능한 Cayley 순열 집합을 금지된 패턴 조건을 통해 특성화한다.

제안 방법

• 논문은 고정된 패턴 $\sigma$가 스택 내용에 나타나지 않도록 방지하는 오른쪽 그리디 스택으로 $\sigma$-회피 스택을 정의한다.
• 스택 연산자의 작용을 레이블이 부여된 Dyck 경로로 표현하여 연산자 $\mathcal{S}^\sigma$의 구조적 분석을 가능하게 한다.
• 스택 연산자 $\mathcal{S}^\sigma$와 역순 연산자를 조합하여 치환을 구성하며, Cayley 순열의 다중집합을 유지한다.
• 거북이 스택 정렬의 경우 입력을 최대로 엄격하게 감소하는 블록으로 분할하고, 각 블록을 뒤집어 순서대로 연결하여 출력을 생성한다.
• 정렬 가능한 순열의 특성화는 블록 구조와 $231$, $312$, $221$, $211$ 등의 금지된 패턴 분석에 기반한다.
• 거북이 스택 정렬 가능한 순열의 수는 블록 시작 조건과 내부 요소 순서 제약 조건을 만족하는 블록 분해를 세는 방식으로 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 패턴 $\sigma$에 대해 $\sigma$-회피 스택으로 정렬 가능한 Cayley 순열 집합이 조합적 클래스가 되는가?
• RQ2 어떤 패턴 $\sigma$가 이중사상적 $\sigma$-회피 스택 연산자 $\mathcal{S}^\sigma$를 유도하는가?
• RQ3 거북이 스택 정렬 가능한 Cayley 순열을 특성화하는 데 필요한 금지된 패턴의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ4 거북이 스택 정렬 가능한 Cayley 순열을 세는 데 사용할 수 있는 기하학적 또는 조합적 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 토끼 스택 정렬 가능한 Cayley 순열의 수는 얼마이며, 이는 알려진 정수 수열과 일치하는가?

주요 결과

• Cayley 순열 중 $\sigma$-회피 스택으로 정렬 가능한 집합이 조합적 클래스가 되는 것은 $\sigma$가 $12$, $21$, 또는 $11$일 때에만 가능하며, 이 경우 기저는 단일 패턴 또는 두 패턴의 쌍이 된다.
• 스택 연산자 $\mathcal{S}^\sigma$와 역순 연산자를 조합하여 Cayley 순열에 대한 새로운 치환을 구성하였으며, 이는 요소의 다중집합을 유지한다.
• 거북이 스택 정렬 가능한 Cayley 순열은 $231$, $312$, $221$, $211$의 네 가지 패턴을 피해야 한다.
• 길이 $n$인 거북이 스택 정렬 가능한 Cayley 순열의 수는 정확히 $3^{n-1}$이며, 이는 $k$개의 블록을 포함하는 블록 분해에서 $\binom{n-1}{k-1}2^{k-1}$개의 순열이 기여함으로써 유도된다.
• 토끼 스택 정렬 가능한 Cayley 순열의 수는 아직 미해결이며, 초기 수열 $1, 3, 11, 41, 151, 553$은 알려진 OEIS 항목과 일치하지 않는다.
• 거북이 스택 정렬의 구조적 제약 조건은: 블록 시작 값은 비감소적이며, 각 블록 내부 요소는 증가하고, 이후 블록의 요소는 이전 블록 시작 값보다 크거나 같아야 한다.