[논문 리뷰] SOS approximations of nonnegative polynomials via simple high degree perturbation

Jean B. Lasserre, Tim Netzer|ArXiv.org|2005. 10. 21.

Iterative Methods for Nonlinear Equations참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차수의 편항을 통해 $[-1,1]^n$ 또는 특정 준대수집합 위에서 비음수 다항식을 합의 제곱(SOS)으로 근사하는 단순하고 명시적인 방법을 제시한다. 충분히 큰 $r$에 대해 작은 배수 $\varepsilon \Theta_r = \varepsilon(1 + \sum X_j^{2r})$를 더함으로써, 결과 다항식은 SOS가 되며, 이는 계수의 $\ell_1$-노름에서 효과적인 SOS 기반의 음수성 인증과 근사화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that every real polynomial $f$ nonnegative on $[-1,1]^{n}$ can be approximated in the $l_{1}$-norm of coefficients, by a sequence of polynomials $\{f_{\ep r}\}$ that are sums of squares. This complements the existence of s.o.s. approximations in the denseness result of Berg, Christensen and Ressel, as we provide a very simple and extit{explicit} approximation sequence. Then we show that if the Moment Problem holds for a basic closed semi-algebraic set $K_S\subset\R^n$ with nonempty interior, then every polynomial nonnegative on $K_S$ can be approximated in a similar fashion by elements from the corresponding preordering. Finally, we show that the degree of the perturbation in the approximating sequence depends on $ε$ as well as the degree and the size of coefficients of the nonnegative polynomial $f$, but not on the specific values of its coefficients.

연구 동기 및 목표

• 다항식이 $[-1,1]^n$ 에서 음수가 아닐 경우, 이에 대한 명시적이고 구축 가능한 SOS 근사 수열을 제공함으로써 이전의 존재성 결과가 비구축적임을 해결한다.
• 모멘트 문제 가정 하에 기본 닫힘 준대수집합 $K_S$ 에서 음수가 아닐 경우 다항식으로의 SOS 근사 프레임워크를 확장한다.
• 필요한 편항 차수 $r$ 이 $\varepsilon$, 다항식의 차수 및 계수 크기에 따라 어떻게 의존하는지, 계수의 구체적 값과는 무관하게 기술한다.

제안 방법

• 다항식 $\Theta_r = 1 + \sum_{j=1}^n X_j^{2r}$ 를 도입하여 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$ 를 구성함으로써, 충분히 큰 $r$ 에서 SOS가 되도록 한다.
• 선형 함수형 기법과 모노미얼에 대한 양성 조건을 사용하여 $\mathcal{A}_{2r}$ 위의 선형 함수형의 값을 유계화함으로써, 편항이 가공된 다항식이 SOS 콘에 속한다는 것을 보장한다.
• 다항식 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ 가 SOS가 되는 최소 $\varepsilon_r^*$ 는 $\mathcal{A}_{2r}$ 위의 선형 형식을 포함하는 유한차원 정규화 프로그램으로 특징지어지며, $L(\Theta_r) \leq 1$ 과 $L(h^2) \geq 0$ ($\forall h \in \mathcal{A}_r$) 조건을 포함한다.
• 일반 준대수집합 $K_S$ 에 적용하기 위해 편항 방법을 수정하여 $\theta_r = \sum_{j=1}^n \sum_{k=0}^r \frac{X_j^{2k}}{k!}$ 를 사용함으로써, 충분히 큰 $r$ 에서 $f_{\varepsilon r} \in T_S$ (예비순서)가 되도록 보장한다.
• 편항 차수 $r$ 이 $\varepsilon$, $n$, $f$ 의 차수 및 계수 크기만에 의존하며, $f$ 의 계수의 구체적 값과는 무관하다는 것을 증명한다.
• 귀납법과 모멘트 기반 부등식을 활용하여, 양성 조건 하에서 혼합 모노미얼 모멘트를 유계화함으로써 근사 오차에 대한 균일한 제어를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 다항식에 대해 $[-1,1]^n$ 에서 존재성 이상의 구축 가능한 명시적 SOS 근사 수열을 제공할 수 있는가?
• RQ2 모멘트 문제 가정 하에 $S$ 에 대해 성립할 경우, 기본 닫힘 준대수집합 $K_S$ 에서 음수가 아닐 경우 다항식으로의 SOS 근사 성질이 확장되는가?
• RQ3 다항식 $f + \varepsilon \Theta_r$ 가 합의 제곱이 되도록 하기 위해 필요한 최소 편항 차수 $r$ 은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 필요한 편항 차수 $r$ 이 입력 다항식 $f$ 와 근사 허용 오차 $\varepsilon$ 에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ5 편항을 선택하여 $f_{\varepsilon r}$ 이 예비순서 $T_S$ 에 속하도록 할 수 있는가? 이는 $K_S$ 에서의 음수성에 대한 증명을 제공한다.

주요 결과

• 임의의 다항식 $f$ 가 $[-1,1]^n$ 에서 음수가 아닐 경우, 충분히 큰 $r$ 에 대해 편항 다항식 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$ 는 합의 제곱이며, $\varepsilon \to 0$ 일 때 $\|f_{\varepsilon r} - f\|_1 \to 0$ 이다.
• 다항식 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ 가 SOS가 되는 최소 $\varepsilon_r^*$ 는 $\mathcal{A}_{2r}$ 위의 선형 형식을 포함하는 유한차원 정규화 프로그램의 해로 특징지워지며, $L(\Theta_r) \leq 1$ 과 $L(h^2) \geq 0$ ($\forall h \in \mathcal{A}_r$) 조건을 포함한다.
• 내부가 비어 있지 않은 기본 닫힘 준대수집합 $K_S$ 에서 음수가 아닐 경우, 모멘트 문제 가정 하에 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \theta_r$ 는 충분히 큰 $r$ 에서 예비순서 $T_S$ 에 속하며, 음수성에 대한 증명을 제공한다.
• 필요한 편항 차수 $r$ 은 $\varepsilon$, 차원 $n$, $f$ 의 차수 및 계수 크기만에 의존하며, $f$ 의 계수의 구체적 값과는 무관하다.
• 심층적인 결과인 Nussbaum의 정리 등을 피하고, 이전 접근법들(예: [7] 및 [8])보다 더 단순하고 직접적인 증명을 제공한다.
• 근사는 $[-1,1]^n$ 에서 균일하며, 편항 $\theta_r$ 는 $T_S$ 에 속한다는 것이 $K_S$ 에서의 음수성임을 보장함으로써, 음수성의 알고리즘 탐지가 가능하게 한다.