[논문 리뷰] SOS-Hankel Tensors: Theory and Application

Guoyin Li, Liqun Qi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 26.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 37인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 양의 준정부호성을 보장하는 합의 제곱(SOS)이면서 동시에 헨켈 텐서인 SOS-헨켈 텐서를 도입한다. 짝수차수의 완전한 및 강한 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서임을 증명하고, 양의 준정부호 헨켈 텐서 복원 문제를 위한 ADMM 알고리즘을 제안하며, 모든 양의 준정부호 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서라면 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Hankel tensors arise from signal processing and some other applications. SOS (sum-of-squares) tensors are positive semi-definite symmetric tensors, but not vice versa. The problem for determining an even order symmetric tensor is an SOS tensor or not is equivalent to solving a semi-infinite linear programming problem, which can be done in polynomial time. On the other hand, the problem for determining an even order symmetric tensor is positive semi-definite or not is NP-hard. In this paper, we study SOS-Hankel tensors. Currently, there are two known positive semi-definite Hankel tensor classes: even order complete Hankel tensors and even order strong Hankel tensors. We show complete Hankel tensors are strong Hankel tensors, and even order strong Hankel tensors are SOS-Hankel tensors. We give several examples of positive semi-definite Hankel tensors, which are not strong Hankel tensors. However, all of them are still SOS-Hankel tensors. Does there exist a positive semi-definite non-SOS-Hankel tensor? The answer to this question remains open. If the answer to this question is no, then the problem for determining an even order Hankel tensor is positive semi-definite or not is solvable in polynomial-time. An application of SOS-Hankel tensors to the positive semi-definite tensor completion problem is discussed. We present an ADMM algorithm for solving this problem. Some preliminary numerical results on this algorithm are reported.

연구 동기 및 목표

• 양의 준정부호 헨켈 텐서와 SOS 텐서 간의 관계를 조사하며, 특히 모든 양의 준정부호 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서인지 여부를 밝히는 것.
• 짝수차수의 완전한 및 강한 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서임을 입증함으로써, 새로운 다항식 시간 내에 해결 가능한 클래스를 규명하는 것.
• 양의 준정부호 헨켈 텐서 복원 문제를 해결하기 위한 ADMM 기반 알고리즘을 개발하고 테스트하는 것.
• SOS-헨켈 텐서 프레임워크가 텐서의 양의 준정부호성 검증에 대한 계산 복잡도를 낮추는 데 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 완전 분해 가능 텐서의 개념을 도입하여, 짝수차수의 완전 분해 가능 텐서가 SOS 텐서임을 보여주는 것.
• 완전한 헨켈 텐서가 강한 헨켈 텐서이며, 강한 헨켈 텐서가 완전 분해 가능임을 증명함으로써, 계층 관계인 완전함 ⇒ 강함 ⇒ SOS-헨켈을 확립하는 것.
• 반무한 선형 프로그래밍과 준정부호 프로그래밍을 사용하여 SOS 성질을 검증하며, SOS 텐서 탐지가 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 사실을 활용하는 것.
• 양의 준정부호 헨켈 텐서 복원 문제(TCP)를 위한 ADMM 알고리즘을 제안하며, 텐서 변수 A에 대한 업데이트는 특이값 임계처리를 통해 수행하는 것.
• ADMM 보조 문제 업데이트를 다음과 같이 사용: $ A^{k+1} = \arg\min_{A \succeq 0} \left\{ \frac{\rho}{2} \| A + \frac{1}{\rho}(\mu I_l + Z^{k-1}) - M v^k \|^2 \right\} $, 이는 SVD를 통해 해결된다.
• 수치 실험에서 $ \mu = 0.1 $, $ \rho = 10 $로 파라미터를 설정하여 수렴성과 효율성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 짝수차수의 양의 준정부호 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서인가?
• RQ2 SOS-헨켈 텐서의 클래스가 이전에 알려진 완전한 및 강한 헨켈 텐서의 클래스보다 엄밀히 더 큰가?
• RQ3 모든 짝수차수의 헨켈 텐서가 SOS-헨켈 텐서라면, 그 양의 준정부호성 결정 문제는 다항식 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ4 ADMM 알고리즘이 양의 준정부호 헨켈 텐서 복원 문제를 해결하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ5 ADMM 해가 생성한 헨켈 행렬의 질량 구조는 무엇이며, 이는 텐서의 분해 가능성에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 짝수차수의 완전한 헨켈 텐서는 강한 헨켈 텐서의 부분집합이며, 강한 헨켈 텐서는 SOS-헨켈 텐서의 부분집합이다.
• 강한 헨켈 텐서가 아닌 SOS-헨켈 텐서가 존재함을 보여주어, 이전에 알려진 양의 준정부호 헨켈 텐서 클래스보다 엄밀히 더 큰 클래스임을 입증한다.
• ADMM 알고리즘이 수치 실험에서 양의 준정부호 헨켈 텐서 복원 문제를 성공적으로 해결하며, $ \mu = 0.1 $, $ \rho = 10 $ 조건에서 효율적으로 수렴한다.
• 첫 번째 테스트 케이스에서 생성 벡터 $ v $는 질량-1 헨켈 행렬을 생성하여 단순한 SOS 분해를 나타낸다.
• 두 번째 테스트 케이스에서 생성 벡터는 질량-2 헨켈 행렬을 생성하여, 이 방법이 더 높은 질량의 구조를 처리할 수 있음을 보여준다.
• 열린 질문은: 양의 준정부호 헨켈 텐서이지만 SOS-헨켈 텐서가 아닌 것이 존재하는가? 그렇지 않다면, 헨켈 텐서의 양의 준정부호성은 다항식 시간 내에 결정 가능해진다.