[논문 리뷰] Sp(2n,R) electric-magnetic duality as off-shell symmetry of interacting electromagnetic and scalar fields

Claudio Bunster, Marc Henneaux|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 31.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상호작용하는 전자기장과 스칼라장에서 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 전기자기 dual symmetry가 비장력 대칭임을 규명한다. 이는 자유 맥스웰 이론에서의 $SO(2)$ dual symmetry에 대한 이전 결과를 확장한 것이다. 이중 잠재함수를 도입한 일阶 해밀토니안 프레임워크에서 이론을 기술함으로써, 저자들은 전체 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 대칭—하나의 맥스웰 장에 대해 $SL(2,\mathbb{R})$로 표현되고 $n$개의 장으로 일반화된 대칭—이 운동 방정식이 아닌 행동형식 자체를 정확히 유지함을 보여주며, 이는 최대 초중력 이론과 $p$-형식에서의 비틀린 자기 dual 조건에 대한 함의를 가진다.

ABSTRACT

It was established long ago that SO(2) electric-magnetic duality is an {\em off-shell} symmetry of the free Maxwell theory, i.e., that it leaves invariant the action and not just the equations of motion. We review here that analysis and extend it to the Maxwell field coupled to scalar fields defined on the $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ coset space, showing that $SL(2,\mathbb{R})$ is in that case an {\em off-shell} symmetry. We also show how the result can be generalized to many Maxwell fields and $Sp(2n, \mathbb{R})$ duality symmetry - or a subgroup of it, recovering in particular the case of maximal supergravity in four dimensions with $E_{7,7}$ symmetry. We finally indicate further possible extensions to twisted self-duality equations for $p$-forms, including Chern-Simons terms and Pauli couplings, as well as linearized gravity, which will be treated in depth elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 자유 맥스웰 이론에서 알려진 비장력 $SO(2)$ dual symmetry를 스칼라 장이 존재하는 상호작용 시스템으로 확장하기.
• 맥스웰 장이 $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ 코셋 공간에 스칼라 장이 결합할 때 $SL(2,\mathbb{R})$ dual symmetry가 비장력 대칭으로 유지되는지 보여주기.
• 이 결과를 $n$개의 상호작용하는 맥스웰 장으로 일반화하여 전체 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 군이 비장력 대칭으로 작용함을 보여주기.
• 이 대칭이 파울리 결합, 차이-시몬스 항, 비틀린 자기 dual 조건과 같은 추가 결합이 포함된 경우에도 변분 원리가 유지되도록 보존됨을 확립하기.
• $Sp(2n,\mathbb{R})$ 대칭이 최대임을 밝히고, 군의 포함 구조에 의한 장애로 인해 표준 양-밀스 절차로는 게이지화할 수 없음을 설명하기.

제안 방법

• 벡터 잠재함수 $A^a_i$의 공간 성분에 대해 쌍대 운동량 $\pi^i_a$를 도입하여 전자기 이론을 일阶 해밀토니안 형식으로 기술하기.
• 가우스의 법칙 제약을 해결하기 위해 두 번째 벡터 잠재함수 $Z^a_i$를 도입하여, $A^a_\mu$와 $Z^a_\mu$로 표현된 행동형식이 명백히 dual 대칭성을 가지도록 하기.
• 일阶 형태에서 제2계 행동형식 $S^V[A^a_\mu]$를 유도하며, 스칼라 장 $\varphi^i$에 따라 변하는 $\mu_{ab}(\varphi^i)$와 $\nu_{ab}(\varphi^i)$로 매개화된 운동에너지 및 이중 항을 포함하기.
• 스칼라 장이 $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 코셋에 있을 때, 유도된 행동형식이 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 변환에 대해 불변임을 보이며, 이 대칭이 비장력으로 실현됨을 증명하기.
• 노이터 방법과 경로 적분 형식을 활용하여 양자 일관성을 확보하고, 비장력 대칭의 성질을 유용하게 활용하기.
• 운동량의 변동이 운동에너지 및 이중 항의 변동이 전부 전체 도함수임을 확인함으로써, 무한소 dual 변환에 대한 행동형식의 불변성을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맥스웰 장이 $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$에 스칼라 장이 결합할 때, $SL(2,\mathbb{R})$ 전기자기 dual symmetry가 비장력 대칭인가?
• RQ2 $n$개의 상호작용하는 맥스웰 장이 스칼라 장과 결합할 경우, $Sp(2n,\mathbb{R})$ dual symmetry는 확장 가능하며 비장력인가?
• RQ3 파울리 결합이나 차이-시몬스 항과 같은 추가 결합이 포함된 경우 비장력 dual 대칭이 유지되는가?
• RQ4 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 대칭이 최대임을 설명하고, 표준 양-밀스 절차로는 게이지화할 수 없는 이유는 무엇인가?
• RQ5 $p$-형식에서의 비틀린 자기 dual 방정식의 변분 원리는 맥스웰의 경우와 마찬가지로 명백히 dual 대칭성을 가지도록 만들 수 있는가?

주요 결과

• $SL(2,\mathbb{R})$ 전기자기 dual 대칭은 맥스웰-스칼라 시스템에서 비장력 대칭이며, 운동 방정식을 적용하기 전에도 행동형식이 dual 변환에 대해 불변임을 의미한다.
• 비장력 불변성은 이중 잠재함수 $Z^a_i$를 도입한 일阶 해밀토니안 형식을 통해 확립되며, 이는 가우스의 법칙을 해결하고 명백한 dual 대칭성을 가능하게 한다.
• $n$개의 상호작용하는 맥스웰 장이 $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 코셋에 스칼라 장이 존재할 경우, 전체 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 군이 행동형식의 비장력 대칭으로 작용한다.
• 이 대칭은 파울리 결합 및 차이-시몬스 항과 같은 항들에서도 유지되며, 행동형식의 변동이 전부 전체 도함수의 형태를 유지함으로써 보존된다.
• $Sp(2n,\mathbb{R})$ 대칭은 운동에너지가 스칼라 장에 의존하지 않아야 게이지 불변성이 유지되기 때문에 최대이다.
• 표준 양-밀스 절차로 $Sp(2n,\mathbb{R})$ dual 대칭을 게이지화할 수 없는 것은 스칼라 결합이 있더라도, 고유 표현에서의 군 포함 장애로 인해 여전히 유지된다.