[논문 리뷰] Space and time dimensions of algebras with applications to Lorentzian noncommutative geometry and quantum electrodynamics

Nadir Bizi, Christian Brouder외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 21.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 자기수반 인보리션과 특정 교환관계를 만족하는 반단위항성 연산자를 갖춘 복소 *C*-대수에 대해 공간과 시간 차원을 8로 나눈 나머지에 대해 새로운 할당을 제안하며, 이는 $KO$-차원 개념을 일반화한다. 이 틀은 크라인 공간을 통한 편미분계량 기하학의 확장 가능하게 하여 양자전자역학의 로렌츠 스펙트럴 트리플을 성공적으로 구성하고, 페르미온의 두重화 문제 없이 물리적 라그랑지안을 유도한다.

ABSTRACT

An analogy with real Clifford algebras on even-dimensional vector spaces suggests to assign a couple of space and time dimensions modulo 8 to any algebra (represented over a complex Hilbert space) containing two self-adjoint involutions and an anti-unitary operator with specific commutation relations. It is shown that this assignment is compatible with the tensor product: the space and time dimensions of the tensor product are the sums of the space and time dimensions of its factors. This could provide an interpretation of the presence of such algebras in PT-symmetric Hamiltonians or the description of topological matter. This construction is used to build an indefinite (i.e. pseudo-Riemannian) version of the spectral triples of noncommutative geometry, defined over Krein spaces instead of Hilbert spaces. Within this framework, we can express the Lagrangian (both bosonic and fermionic) of a Lorentzian almost-commutative spectral triple. We exhibit a space of physical states that solves the fermion-doubling problem. The example of quantum electrodynamics is described.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럴 트리플의 $KO$-차원 개념을 리만 기하학에서 편미분계량(로렌츠) 기하학으로 일반화하기 위해, 두 개의 자기수반 인보리션과 특정 교환관계를 만족하는 반단위항성 연산자를 갖춘 대수에 공간과 시간 차원을 8로 나눈 나머지에 대해 할당한다.
• 기본 대칭을 통해 물리적 상태 공간을 정의함으로써, 로렌츠 스펙트럴 트리플에서 페르미온의 두重화 문제를 해결한다.
• 로렌츠 거의가환 기하학을 위한 일관된 비정규(크라인 공간 기반) 스펙트럴 트리플을 구성한다.
• 이 틀 안에서 양자전자역학(QED)의 물리적 라그랑지안을 도출하여 표준 물리적 형태와 일치시킨다.
• 차원 할당이 대수의 계승적 곱과 일관성을 유지함을 보장하기 위해, 대수의 계승적 곱과의 호환성을 확립한다.

제안 방법

• 치라리티 연산자 $\chi$, 기본 대칭 $\eta$, 전하 켤레 $J$ 사이의 교환관계로부터 유도된 세 개의 부호를 통해 대수에 공간과 시간 차원을 8로 나눈 나머지에 대해 할당한다.
• 힐베르트 공간 대신 크라인 공간을 사용하여 비정규 스펙트럴 트리플을 정의함으로써, 로렌츠 부호를 갖는 데 필수적인 음수가 아닌 내적을 허용한다.
• 로렌츠 경우의 디랙 연산자 $D(A)$를 $D - q\gamma^\mu A_\mu \otimes \varpi$로 구성하며, 표현 $\pi$를 통해 게이지 포텐셜을 포함한다.
• 콘스-로트-엘스너(CLE) 라그랑지안을 $\mathcal{L}_{\mathrm{CLE}} = \mathrm{Tr}_z(\theta^\times \theta) + \frac{1}{2}(\Psi, D(A)\Psi)$로 정의하며, 추적의 모호성을 해결하기 위해 양의 정규화된 가중치 $z$를 사용한다.
• 기본 대칭 $\eta$와 전하 켤레 $J$를 사용하여, 입자와 반입자가 동일한 질량을 가지며 반대 전류를 갖는 것을 보장하며, 반대칭 관계를 가정하지 않는다.
• 보존 라그랑지안 $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$가 $\rho = 1/(32q^2)$로 선택될 경우 표준 QED와 일치하는 물리적 형태로 변환됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규(편미분계량) 스펙트럴 트리플에 대해 대수적 구조를 사용하여 일반화된 $KO$-차원 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 로렌츠 비가환 기하학에서 페르미온의 두重화 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 양자전자역학(QED)에 대해 콘스-로트 스펙트럴 작용의 일관된 로렌츠 버전을 구성할 수 있는가?
• RQ4 대수의 계승적 곱에 대해 대수에 대한 8로 나눈 나머지 차원 할당이 여전히 호환되는가?
• RQ5 반대칭 관계를 가정하지 않고도 크라인 공간 기반 스펙트럴 트리플에서 물리적 QED 라그랑지안을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 자기수반 인보리션과 특정 교환관계를 만족하는 반단위항성 연산자를 갖는 임의의 대수에 대해 공간과 시간 차원을 8로 나눈 나머지에 대해 일관되게 할당할 수 있다.
• 차원 할당은 계승적 곱과 호환된다: $A_1 \hat{\otimes} A_2$의 차원은 $A_1$과 $A_2$의 차원의 합을 8로 나눈 나머지와 같다.
• 기본 대칭 $\eta$를 통해 페르미온의 두重화 문제를 해결하는 물리적 상태 공간이 구성된다.
• QED에 대한 로렌츠 스펙트럴 트리플이 성공적으로 정의되었으며, 양의 가중치 $z$를 사용한 추적 정규화 이후 표준 물리적 형태와 일치하는 라그랑지안을 갖는다.
• 반대칭 관계를 가정하지 않고 페르미온 및 게이지 라그랑지안을 도출할 수 있으며, 입자-반입자 대칭성은 $J$와 $\eta$의 대수적 구조에서 유래한다.
• 보존 라그랑지안은 $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$가 되며, $\rho = 1/(32q^2)$로 설정하면 물리적 형태인 $-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$로 복원된다.