[논문 리뷰] Space-bounded quantum state testing via space-efficient quantum singular value transformation

François Le Gall, Yupan Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 상태 테스팅을 통해 일방적 오차(coRQL) 및 이방적 오차(BQL) 설정에 대해 자연스럽고 완전한 문제들을 도입함으로써, 공간 제한된 양자 계산의 새로운 특성화를 제시한다. 공간 효율적인 양자 특이값 변환(QSVT)을 도입하여, 트레이스 거리, 힐베르트-스미트 거리 및 엔트로피 차이에 대한 공간 제한된 상태 테스팅이 상태 준비와 동일하게 쉬운 것을 보이며, 로그스페이스 카르프 감소를 통해 완전성과 날카운 복잡도 상한을 확립한다.

ABSTRACT

Driven by exploring the power of quantum computation with a limited number of qubits, we present a novel complete characterization for space-bounded quantum computation, which encompasses settings with one-sided error (unitary coRQL) and two-sided error (BQL), approached from a quantum state testing perspective: - The first family of natural complete problems for unitary coRQL, i.e., space-bounded quantum state certification for trace distance and Hilbert-Schmidt distance; - A new family of natural complete problems for BQL, i.e., space-bounded quantum state testing for trace distance, Hilbert-Schmidt distance, and quantum entropy difference. In the space-bounded quantum state testing problem, we consider two logarithmic-qubit quantum circuits (devices) denoted as $Q_0$ and $Q_1$, which prepare quantum states $ρ_0$ and $ρ_1$, respectively, with access to their ``source code''. Our goal is to decide whether $ρ_0$ is $ε_1$-close to or $ε_2$-far from $ρ_1$ with respect to a specified distance-like measure. Interestingly, unlike time-bounded state testing problems, our results reveal that the space-bounded state testing problems all correspond to the same class. Moreover, our algorithms on the trace distance inspire an algorithmic Holevo-Helstrom measurement, implying QSZK is in QIP(2) with a quantum linear-space honest prover. Our results primarily build upon a space-efficient variant of the quantum singular value transformation (QSVT) introduced by Gilyén, Su, Low, and Wiebe (STOC 2019), which is of independent interest. Our technique provides a unified approach for designing space-bounded quantum algorithms. Specifically, we show that implementing QSVT for any bounded polynomial that approximates a piecewise-smooth function incurs only a constant overhead in terms of the space required for special forms of the projected unitary encoding.

연구 동기 및 목표

• 제한된 큐비트를 가진 공간 제한된 양자 계산의 계산 능력을 특성화하기 위해.
• 양자 상태 테스팅 프레임워크 내에서 일방적 오차(coRQL) 및 이방적 오차(BQL)에 대해 자연스럽고 완전한 문제들을 식별하기 위해.
• 양자 상태 테스팅을 통해 공간 제한된 양자 계산의 복잡도 특성화를 통합하고 단순화하기 위해.
• 로그스페이스 카르프 감소를 통해 트레이스 거리, 힐베르트-스미트 거리 및 엔트로피 차이에 대해 날카운 완전성 결과를 확립하기 위해.

제안 방법

• 유계 및 조각별로 미분 가능한 함수에 대해 평균화된 체비셰프 절단을 사용하여 공간 효율적인 양자 특이값 변환(QSVT)의 변종을 개발한다.
• 고정된 공간 오버헤드만을 가지는 프로젝션 유니터리 인코딩에 공간 효율적인 QSVT를 적용한다.
• 평균화된 체비셰프 절단을 통한 다항식 근사 방법을 사용하여 sign 함수 및 정규화된 로그 함수와 같은 함수에 대해 QSVT를 구현한다.
• 로그arithmic 공간을 사용하여 순수화된 상태를 준비하고 목표 함수를 유한한 오차로 시뮬레이션하는 양자 회로를 구성한다.
• 로그스페이스 카르프 감소를 사용하여 상태 테스팅 문제에 대해 BQL 및 coRQL 난이도를 증명한다.
• 함수의 연속성 특성을 활용하여 오차 감소 기법과 노름 상한을 통합하여 공간 효율성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 제한된 양자 계산에서 일방적 오차(coRQL)에 대해 자연스럽고 완전한 문제들은 무엇인가?
• RQ2 트레이스 거리, 힐베르트-스미트 거리 및 엔트로피 차이에 대한 공간 제한된 양자 상태 테스팅 문제들은 BQL과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 조각별로 미분 가능한 함수에 대해 고정된 공간 오버헤드만을 가지는 공간 효율적인 QSVT를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 거리 측정 기반의 양자 상태 테스팅은 공간 제한 설정에서 상태 준비만큼 쉬운가?
• RQ5 다양한 거리 측정 기반의 공간 제한된 양자 상태 테스팅의 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• CertQSDlog와 CertQHSlog는 coRQL에 대해 완전하며, 공간 제한된 양자 계산에 자연스러운 일방적 오차 문제를 제공한다.
• GapQSDlog, GapQHSlog, GapQEDlog는 모두 BQL에 속하며, 이러한 측정 기반의 공간 제한된 상태 테스팅이 상태 준비만큼 쉬운 것을 보여준다.
• GapQSDlog는 BQUL-난이도를 가지며, GapQJSlog와 GapQEDlog 역시 BQUL-난이도를 가지며, 날카운 복잡도 상한을 확립한다.
• 공간 효율적인 QSVT 구축은 유계 다항식 근사에 대해 조각별로 미분 가능한 함수에 대해 고정된 오버헤드만을 가진다.
• GapQSDlog에서 GapQJSlog 및 GapQEDlog로의 감소는 이러한 문제들이 로그스페이스 카르프 감소 하에서 완전함을 확인한다.
• 결과적으로 공간 제한된 상태 테스팅이 시간 제한된 경우와 달리 상태 준비만큼 계산적으로 어렵지 않다는 것이 드러났다. 시간 제한된 경우는 QSZK 또는 BQP-완전이지만, 공간 제한된 경우는 그렇지 않다.