[논문 리뷰] Space-time Averages of Classical Physical Fields

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|2004. 10. 29.

Geophysics and Gravity Measurements참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 고전적 물리 장에 대해 평행 이동 평균화 비벡터 연산자를 사용한 공변 공간-시간 평균화 절차를 개발하며, 이러한 평균화가 평균화된 공간-시간에서 비리emann 기하학을 초래함을 보여준다. 이와 같은 접근 방식을 매크로스코픽 중력 평균화와 비교하여, 둘 다 비리emann 기하학적 구조를 유지하지만 미분적 및 대수적 성질에서 다름을 밝혀내며, 매크로스코픽 중력 방법은 국소성과 공변 미분과의 교환성 면에서 뛰어난 성능을 보임을 밝힌다.

ABSTRACT

A review on the main results concerning the algebraic and differential properties of the averaging and coordination operators and the properties of the space-time averages of macroscopic gravity is given. The algebraic and differential properties of the covariant space-time averaging procedure by means of using the parallel transportation averaging bivector operator are analyzed. The structure of the pseudo-Riemannian space-time manifolds of general relativity averaged by means of this procedure is discussed. A comparison of both procedures is given and the directions of further development of space-time averaging procedures of the physical classical fields are outlined.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론의 의사-리emann 기하학적 구조와 호환되는 공변 공간-시간 평균화 절차를 개발하는 것.
• 곡선 공간-시간에서 평균화 및 조정 연산자의 대수적 및 미분적 성질을 분석하는 것.
• 매크로스코픽 중력의 공간-시간 평균화 체계를 평행 이동 비벡터 연산자 방법과 비교하는 것.
• 의미 있는 비리emann 기하학적 구조가 나타나는 의사-리만 다양체의 평균화에 따른 기하학적 및 물리적 결과를 조사하는 것.
• 평균화된 장에 기반한 물리적으로 의미 있는 공간-시간 측정 및 우주론적 모델링을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 체적 형태를 가진 미분 가능 다양체 위에서 평행 이동 평균화 비벡터 연산자를 사용한 공변 공간-시간 평균화 절차를 수립한다.
• 평균화 절차를 텐서 장 및 기하학적 객체에 적용하여, 계량 및 애프린 기저와의 호환성을 확보한다.
• 평균화 연산자의 형태를 단순화하는 적절한 좌표계를 정의하며, 이는 민코프스키 공간에서의 카르테시안 좌표계와 유사하다.
• 평균화 연산자의 대수적 구조와 공변 미분과의 교환성을 분석한다.
• 제안된 체계 하에서 공간-시간 평균값의 유일성을 증명한다.
• 평균화된 장의 미분적 성질과 조정 비벡터가 평균화 과정에서 수행하는 역할을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원시적인 계량 또는 접속이 없이도 임의의 미분 가능 다양체 위에서 공간-시간 평균화를 완전히 공변적인 방식으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 매크로스코픽 중력 체계와 평행 이동 비벡터 방법 간의 평균화 절차의 미분적 및 대수적 성질은 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ3 원래 공간-시간이 의사-리만일 경우 평균화된 공간-시간에서 어떤 기하학적 구조가 나타나는가?
• RQ4 평균화 절차가 공변 미분과 언제 교환 가능해지는가?
• RQ5 일반 상대성 이론에서 비리만 기하학적 평균화 기하학이 가지는 물리적 및 우주론적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 평행 이동 비벡터 연산자를 사용한 공변 공간-시간 평균화 절차는 원래 다양체가 의사-리만일지라도 평균화된 공간-시간에서 비리만 기하학을 초래한다.
• 매크로스코픽 중력 평균화 체계는 평균화된 장이 평균화 부피를 매개변수로 가지는 국소적, 단일값 함수임을 보장하며, 공변 미분과 교환 가능하다.
• 평행 이동 비벡터 방법은 리만 곡률 텐서에 강력한 제약 조건을 부과하지 않는 한 일반적으로 국소성이나 공변 미분과의 교환성을 만족하지 못한다.
• 매크로스코픽 중력과 평행 이동 비벡터 방법이라는 두 평균화 체계 모두 비리만 기하학적 평균화 기하학을 초래하며, 이는 평균화 과정에서 의사-리만 기하학적 구조가 본질적으로 붕괴됨을 시사한다.
• 모든 n차원 미분 가능 다양체에 체적 형태가 존재할 경우, 평균화 및 조정 연산자에 대한 존재 정리를 국소적으로 확립한다.
• 평균화된 공간-시간 기하학의 구조는 대칭 제2계 텐서 $ g_{\alpha\beta} $의 세그레 대수적 유형에 따라 달라지며, 이는 평균화된 아인슈타인 텐서 $ G_{\alpha\beta} $와 다름을 확인함으로써 원래의 리만 기하학적 구조가 유지되지 않음을 입증한다.