[논문 리뷰] Space-time discontinuous Galerkin approximation of acoustic waves with point singularities

Pratyuksh Bansal, Andrea Moiola외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 45인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 2차원 다각형 영역에서 모서리 또는 다중재질 인터페이스로 인한 점 특이성이 존재하는 선형 음향파 방정식에 대해 공간-시간 불연속 갈레르킨(DG) 방법을 제안한다. 국소적 공간 메쉬 그레딩을 사용하여 최적 수렴 속도를 확립하고, 최적 수렴을 달성하면서도 끝내기 메쉬에서의 타원형 해석 작업과 동일한 스케일로 계산 비용이 증가하는 새로운 희소 텐서 공간-시간 DG 스킴을 도입한다. 이는 특이성이 존재하는 상황에서도 성립한다.

ABSTRACT

We develop a convergence theory of space-time discretizations for the linear, 2nd-order wave equation in polygonal domains $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, possibly occupied by piecewise homogeneous media with different propagation speeds. Building on an unconditionally stable space-time DG formulation developed in [Moiola, Perugia 2018], we (a) prove optimal convergence rates for the space-time scheme with local isotropic corner mesh refinement on the spatial domain, and (b) demonstrate numerically optimal convergence rates of a suitable \emph{sparse} space-time version of the DG scheme. The latter scheme is based on the so-called \emph{combination formula}, in conjunction with a family of anisotropic space-time DG-discretizations. It results in optimal-order convergent schemes, also in domains with corners, with a number of degrees of freedom that scales essentially like the DG solution of one stationary elliptic problem in $\Omega$ on the finest spatial grid. Numerical experiments for both smooth and singular solutions support convergence rate optimality on spatially refined meshes of the full and sparse space-time DG schemes.

연구 동기 및 목표

• 다각형 영역에서 점 특이성이 존재하는 파동 방정식에서 최적 수렴을 해결한다.
• 임의의 시간 및 공간 메쉬 간격 조합에서도 안정적인 공간-시간 DG 수식을 개발한다. 이는 국소적 메쉬 세분화와 함께 성립한다.
• 도메인의 자유도를 크게 줄이며 최적 수렴을 유지하는 희소 텐서 공간-시간 DG 스킴을 설계한다.
• 구형 특이성이 존재하는 해의 정(regularity)을 모델링하기 위해 코너-중량 Kondrat’ev 유형의 소볼레프 공간에서 수렴 속도의 경계를 확립한다.
• 특이성과 스무스 영역 모두에서 전체 및 희소 공간-시간 DG 스킴의 수치적 최적 수렴 속도를 실험적으로 입증한다.

제안 방법

• 이전 연구 [32]에서 제안된 조건부 안정성 없이도 안정한 공간-시간 DG 변분 수식을 두 번째 차수 파동 방정식에 적용한다.
• 공간적 모서리와 다중재질 인터페이스 쪽으로 국소적 등방성 메쉬 세분화를 적용하여 점 특이성을 해결한다.
• 비스무스 도메인에서 해의 정(regularity)을 모델링하기 위해 코너-중량 Kondrat’ev 유형의 소볼레프 공간을 사용한다.
• 다양한 시간 및 공간 메쉬 간격을 가진 여러 DG 해를 조합 공식에 적용하여 희소 텐서 공간-시간 DG 스킴을 제안한다.
• 특이성 근처에서 공간적 및 시간적 해상도를 균형 잡기 위해 이방성 공간-시간 DG 이산화를 사용하고, 그레딩 메쉬를 적용한다.
• 무조건적 안정성 덕분에 조합 공식에서 시간 및 공간 간격 조합이 CFL 조건을 위반하더라도 수렴이 유지된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 다각형 영역에서 점 특이성이 존재하는 공간-시간 DG 스킴에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 모서리 또는 인터페이스 쪽으로 국소적 공간 메쉬 그레딩을 적용하면, 해의 정(regularity)이 감소하더라도 여전히 최적 수렴이 복원되는가?
• RQ3 전체 텐서 버전에 비해 자유도를 크게 줄였음에도 불구하고 희소 텐서 공간-시간 DG 스킴이 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 다양한 시간 및 공간 간격을 가진 공간-시간 DG 스킴에 조합 공식을 적용했을 때, 특히 특이성이 존재하는 경우 성능은 어떠한가?
• RQ5 희소 공간-시간 DG 스킴의 渐近 계산 복잡도는 가장 끝내기 메쉬에서 타원형 문제를 한 번 풀 때와 비교해 어떤가?

주요 결과

• 모서리 쪽으로 국소적 등방성 메쉬 그레딩을 적용한 전체 텐서 공간-시간 DG 스킴에 대해 최적 수렴 속도 $ O(h^p) $ 가 증명된다.
• 희소 텐서 공간-시간 DG 스킴은 자유도 수 $ M_L $ 에 대해 최적 수렴 순서 $ O(M_L^{-p}) $ 를 달성하며, 계산 비용은 가장 끝내기 공간 메쉬에서 타원형 해석 한 번에 비슷한 스케일로 증가한다.
• 수치 실험 결과, 스무스 해와 특이성이 존재하는 해 모두에서 최적 수렴 속도가 확인되었으며, 상대 오차가 1% 미만일 경우 희소 스킴이 전체 텐서 버전보다 오차 대 자유도 비율에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 조합 공식은 무조건적 안정성 덕분에 시간 및 공간 간격 조합이 CFL 조건을 위반하더라도 최적 수렴을 가능하게 한다.
• 다항식 차수 $ p = 2 $ 인 경우, 희소 스킴은 수렴 속도 $ O(M_L^{-1.5}) $ 를 달성하고, 전체 텐서 스킴은 $ O(M_L^{-1}) $ 을 달성하여 희소 스킴이 더 높은 효율성을 보였다.
• 이 방법은 조각별 동질성 매질로 확장 가능하며, 계수들이 조각별 상수일 경우 셀 기여도를 정확하게 평가할 수 있다.