[논문 리뷰] Space-time domain decomposition for advection-diffusion problems in mixed formulations

Thi‐Thao‐Phuong Hoang, Caroline Japhet외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering참고 문헌 52인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 혼합 형식으로 된 대류-확산 문제에 대해 시공간 영역 분할 방법을 제안하며, 연산자 분할을 통해 비일치하는 시간 격자와 대류 및 확산에 대해 별도의 시간 스텝을 허용한다. 두 가지 방법—일반화된 뉴먼-뉴먼 조건을 사용하는 GTP-Schur와 최적화된 루빈 전달 조건을 사용하는 GTO-Schwarz—를 도입하여, GTO-Schwarz가 GTP-Schur보다 2–2.5배 더 빠르게 수렴하고 대류 지배 및 확산 지배 영역 모두에서 강건성을 유지함을 입증한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the numerical solution of porous-media flow and transport problems , i. e. heterogeneous, advection-diffusion problems. Its aim is to investigate numerical schemes for these problems in which different time steps can be used in different parts of the domain. Global-in-time, non-overlapping domain-decomposition methods are coupled with operator splitting making possible the different treatment of the advection and diffusion terms. Two domain-decomposition methods are considered: one uses the time-dependent Steklov--Poincar{\\'e} operator and the other uses optimized Schwarz waveform relaxation (OSWR) based on Robin transmission conditions. For each method, a mixed formulation of an interface problem on the space-time interface is derived, and different time grids are employed to adapt to different time scales in the subdomains. A generalized Neumann-Neumann preconditioner is proposed for the first method. To illustrate the two methods numerical results for two-dimensional problems with strong heterogeneities are presented. These include both academic problems and more realistic prototypes for simulations for the underground storage of nuclear waste.

연구 동기 및 목표

• 핵 폐기물 저장 응용 분야에서 시간 스케일이 크게 다른 이질적인 대류-확산 문제를 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 균일한 시간 스텝의 한계를 극복하여 하위영역 내에서 대류 및 확산 과정에 대해 별도의 시간 스텝을 허용하는 것.
• 비일치하는 시간 격자를 지원하고 이질적인 계수 존재 하에서도 시간 정확도를 유지하는 시공간 영역 분할 방법을 개발하는 것.
• 혼합 유한요소와 최적화된 전달 조건을 사용하여 대류 지배 및 확산 지배 영역 모두에서 질량 보존과 강건한 수렴을 보장하는 것.
• 실제 2차원 시험 케이스, 특히 핵 폐기물 저장소 프로토타입을 통해 복잡한 기하학적 구조와 물성 조건 하에서 확장성과 효율성을 입증하는 것.

제안 방법

• 시간에 대해 전역적이고 겹치지 않는 영역 분할을 적용하고 연산자 분할을 통해 대류와 확산을 별도로 처리하여 하위영역 내에서 독립적인 시간 스텝을 허용한다.
• 두 가지 시공간 경계 문제를 설정한다: 하나는 시간에 의존하는 스테클로프-포앵카레 연산자(GTP-Schur)를 사용하고, 다른 하나는 최적화된 샤워츠 웨이브폼 리듬을 위한 루빈 전달 조건(GTO-Schwarz)을 사용한다.
• 경계 문제에서 대류에 대한 새로운 이산 미지수를 도입하여 딜레르흐 전달 조건을 처리하고, 단일 영역 공식과의 일致성을 확보한다.
• 비일치하는 시간 격자 간의 처리를 위해 최적의 시간 투영 알고리즘을 사용하여 추가적인 격자 세분화 없이도 가능하게 한다.
• GTP-Schur 방법의 수렴성을 향상시키기 위해 일반화된 뉴먼-뉴먼 조건을 사용하는 조건부 행렬을 도입하며, 특히 계수 대비 대비가 큰 확산 지배 케이스에서 유리하다.
• 대류에는 업윈드 유한체적법(시간에 대해 오일러의 명시적 방법)을, 확산에는 혼합 유한요소법과 암시적 오일러 방법을 사용하여 질량 보존과 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대류-확산 문제에 대해 혼합 형식으로 시공간 영역 분할 방법을 확장할 수 있으며, 대류 및 확산에 대해 별도의 시간 스텝을 허용할 수 있는가?
• RQ2 강한 이질성이 있는 대류-확산 문제에 적용했을 때, GTP-Schur 및 GTO-Schwarz 방법의 수렴 속도와 강건성은 어떻게 되는가?
• RQ3 비일치하는 시간 격자의 사용이 해의 시간 정확도에 어떤 영향을 미치며, 이를 효과적으로 완화할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 뉴먼-뉴먼 조건은 GTP-Schur 방법의 수렴에 어떤 영향을 미치며, 특히 대류 지배 영역에서 어떻게 작용하는가?
• RQ5 GTO-Schwarz 방법에서 최적화된 루빈 매개수는 다양한 물리적 영역에서 GTP-Schur 방법에 비해 강건성과 수렴 속도 향상을 제공하는가?

주요 결과

• 고정된 오차 감소를 달성하기 위해 필요한 하위영역 해법의 수에서 GTO-Schwarz 방법이 GTP-Schur 방법보다 2배에서 2.5배 더 효율적이다.
• 최적화된 루빈 전달 조건 덕분에 GTO-Schwarz 방법은 이산화 파rameter에 약한 의존성을 보이며, 대류 지배 및 확산 지배 영역 모두에서 강건성을 유지한다.
• 일반화된 뉴먼-뉴먼 조건을 사용한 GTP-Schur 방법은 확산 지배 케이스에서 메쉬 크기와 무관한 수렴성을 보이며, 조건부 행렬 없이 사용할 경우 수렴성이 메쉬 크기에 크게 의존한다.
• 대류 지배 케이스에서는 뉴먼-뉴먼 조건부 행렬이 비조건부 GTP-Schur보다 수렴 속도를 저하시키지만, 渐近 수렴성은 여전히 메쉬 크기와 약한 의존성을 유지한다.
• 비일치하는 시간 격자의 사용은 일치하는 미세 격자와 유사한 오차 수준을 유도하며, 이는 두 하위영역 및 다수의 하위영역 구성 모두에서 시간 정확도를 유지함을 의미한다.
• 이전 시간 윈도우에서의 적절한 초기 추정치를 사용할 경우, 시간 윈도우당 몇 번의 반복만으로도 해법 오차에 도달할 수 있어 효율적인 시간 적재 성능을 보인다.