[논문 리뷰] Space-time Euler discretization schemes for the stochastic 2D Navier-Stokes equations

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위에서 확률적 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 암시적 시간 오일러 스킴과 유한요소 공간 이산화를 조합하여 $L^2(\Omega)$ 강한 수렴성을 확립한다. 해의 지수적 모멘트 추정과 국소화된 수렴 분석을 활용하여, 추가적 노이즈 조건 하에서 다항 수렴 속도를 증명하며, 이는 이전 연구들이 확률 수렴성만을 확보한 바를 개선한다.

ABSTRACT

We prove that the implicit time Euler scheme coupled with finite elements space discretization for the 2D Navier-Stokes equations on the torus subject to a random perturbation converges in $L^2(\\Omega)$, and describe the rate of convergence for an $H^1$-valued initial condition. This refines previous results which only established the convergence in probability of these numerical approximations. Using exponential moment estimates of the solution of the stochastic Navier-Stokes equations and convergence of a localized scheme, we can prove strong convergence of this space-time approximation. The speed of the $L^2(\\Omega)$-convergence depends on the diffusion coefficient and on the viscosity parameter. In case of Scott-Vogelius mixed elements and for an additive noise, the convergence is polynomial.

연구 동기 및 목표

• 확률적 2차원 나비에-스토크스 방정식의 공간-시간 수치 해법에 대해 이전 연구들이 확보한 확률 수렴성의 한계를 극복하고 $L^2(\Omega)$ 강한 수렴성을 확립하는 것.
• 추가적 노이즈 조건 하에서 완전히 암시적 시간 오일러 스킴과 유한요소 공간 이산화를 결합한 경우의 명시적 다항 수렴 속도를 도출하는 것.
• 해의 지수적 모멘트 추정을 $V$-노름에서 지수적 모멘트를 갖는 랜덤 초기 조건으로 확장하여 더 강력한 수렴 분석을 가능하게 하는 것.
• 특히 스코트-보겔리우스 유한요소를 사용하여 이산 LBB 조건을 만족시켜 이산 설정에서의 안정성을 확보하는 것.
• 비선형 항을 국소화하고 고차원 노름을 고확률 집합에서 통제함으로써 수렴 분석을 정교화하는 것.

제안 방법

• 시간 간격 $\frac{T}{N}$ 를 갖는 암시적 시간 오일러 스킴과 매개변수 $h$ 를 갖는 유한요소 공간 이산화를 사용하여 확률적 2차원 나비에-스토크스 방정식을 근사한다.
• 비선형 항을 통제하기 위해 국소화 기법을 적용하여 확률적 맥락에서 그론월의 부등식을 적용할 수 있도록 하여 $L^2(\Omega)$ 수렴성을 도출한다.
• 해 $u$ 와 시간 이산화 스킴 $\mathbf{u}^l$ 의 지수적 모멘트 추정을 이토의 공식과 적절히 선택된 쌍대 지수를 갖는 허더의 부등식을 통해 유도한다.
• 시간 이산화 스킴 $\mathbf{u}^l$ 의 $W^{1,2}$-노름이 유계인 집합 $\tilde{\Omega}_l(M)$ 에서 국소화된 수렴 분석을 수행하여 $L^2(\Omega)$-의미에서 오차를 통제한다.
• 스코트-보겔리우스 혼합 유한요소 방법을 적용하여 이산 인프-스업 조건을 만족시켜 속도-압력 근사의 안정성을 확보한다.
• 추가적 노이즈 조건 하에서 해가 지수적 모멘트를 갖는다는 사실에 기반하여, 강한 수렴성과 명시적 다항 수렴 속도 확보에 필수적인 역할을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 암시적 시간 오일러 스킴과 유한요소 공간 이산화를 사용할 때, 확률적 2차원 나비에-스토크스 방정식에서 $L^2(\Omega)$ 강한 수렴성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 이 공간-시간 스킴이 $H^1$-값을 갖는 초기 조건을 가질 경우, $L^2(\Omega)$ 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 해와 스킴의 지수적 모멘트 추정이 비선형성을 고려한 강한 수렴성 증명에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 확산 계수와 점도가 $L^2(\Omega)$-노름에서 수렴 속도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 추가적 노이즈 조건 하에서 스코트-보겔리우스 혼합 유한요소를 사용할 경우, 수렴 속도를 명시적으로 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 공간-시간 이산화 스킴은 $H^1$-값을 갖는 초기 조건을 가진 확률적 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 $L^2(\Omega)$ 강한 수렴성을 달성한다.
• 추가적 노이즈 조건과 스코트-보겔리우스 혼합 유한요소를 사용할 경우, 시간 간격 $\frac{T}{N}$ 과 공간 매개변수 $h$ 에 대해 다항 수렴 속도를 갖는다.
• 해와 시간 이산화 스킴에 대한 지수적 모멘트 추정이 $\|u(t)\|_V^2$ 와 $\|\mathbf{u}^l\|_V^2$ 에 대해 확립되어, 수렴 증명에서 허더의 부등식을 적용할 수 있도록 한다.
• 수렴 속도는 점도 $\nu$, 확산 계수 $K_0$, 위너 과정의 공분산 연산자 $Q$ 의 추적에 따라 달라진다.
• 랜덤 초기 조건이 $V$-노름에서 지수적 모멘트를 갖는 경우, 매개변수 $\alpha < \tilde{\beta}_0 = \tilde{\alpha}_0 \frac{\gamma_0}{\gamma_0 + \tilde{\alpha}_0}$ 를 만족하는 조건 하에서 이산 해의 지수적 모멘트는 유계로 유지된다.
• 증명은 시간 이산화 해의 $W^{1,2}$-노름이 제어되는 고확률 집합에서의 국소 오차 추정에 기반하며, 이는 비선형 맥락에서 그론월의 부등식 적용을 가능하게 한다.