[논문 리뷰] Spaces of closed subgroups of locally compact groups

Pierre de la Harpe|ArXiv.org|2008. 07. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act인 군의 닫힌 부분군의 공간을 연구하며, 이 공간을 컴 pact화하는 데 사용되는 Chabauty 위상에 초점을 맞춘다. 3차원 Heisenberg 군 H에 대해, 닫힌 부분군의 공간 𝒞(H)가 6차원의 특이 공간임을 증명하며, 격자 공간 ℒₙ(H)가 동치공간 ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ) 위상동형이며, 그 경계는 명시적인 궤도-닫힘 부분공간들로 분해됨을 보인다.

ABSTRACT

The set $\Cal C(G)$ of closed subgroups of a locally compact group $G$ has a natural topology which makes it a compact space. This topology has been defined in various contexts by Vietoris, Chabauty, Fell, Thurston, Gromov, Grigorchuk, and many others. The purpose of the talk was to describe the space $\Cal C(G)$ first for a few elementary examples, then for $G$ the complex plane, in which case $\Cal C(G)$ is a 4--sphere (a result of Hubbard and Pourezza), and finally for the 3--dimensional Heisenberg group $H$, in which case $\Cal C(H)$ is a 6--dimensional singular space recently investigated by Martin Bridson, Victor Kleptsyn and the author \cite{BrHK}. These are slightly expanded notes prepared for a talk given at several places: the Kortrijk workshop on {\it Discrete Groups and Geometric Structures, with Applications III,} May 26--30, 2008; the {\it Tripode 14,} École Normale Supérieure de Lyon, June 13, 2008; and seminars at the EPFL, Lausanne, and in the Université de Rennes 1. The notes do not contain any other result than those in \cite{BrHK}, and are not intended for publication.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴 pact인 군의 닫힌 부분군 공간의 위상적 구조를 Chabauty 위상에 의해 분석하는 것.
• 3차원 Heisenberg 군 H에 대한 닫힌 부분군 공간의 기하학적 및 위상적 성질을 규명하는 것.
• Aut(H) 작용 하에 궤도-닫힘 부분공간으로서 ℒₙ(H)의 경계를 묘사하는 것.
• ℒₙ(H)의 공간이 동치공간 ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ) 위상동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 컴 pact인 군 G의 닫힌 부분집합 공간에 정의된 컴 pact 및 열린 집합을 통한 Chabauty 위상 사용.
• Chabauty–Fell 위상 적용으로, 국소적으로 컴 pact인 G에 대해 닫힌 부분군 공간 𝒞(G)가 컴 pact하고 T₂임을 보임.
• Heisenberg 군 H의 격자 공간 ℒₙ(H)를 Aut(H) ≅ ℝ² ⋊ GL₂(ℝ)의 이산 부분군 ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)에 대한 몫으로 분석함.
• ℒₙ(H)의 경계를 다양한 유형의 닫힌 부분군에 대응하는 부분공간들의 합집합으로 식별하며, 이는 Aut(H)-궤도 닫힘 𝒜(H)를 포함함.
• Bridson, de la Harpe, Kleptsyn [BrHK]의 결과를 활용하여 경계를 아홉 개의 별개의 부분공간 (i)–(ix)로 분해함. 각 부분공간은 Aut(H)-궤도의 유한한 합집합임.
• ℒ(H)가 𝒞(H)에서 열려 있고 밀도가 있음을 이용하여, ℒₙ(H)와 경계 성분들이 𝒞(H)의 분할을 이룸.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 Heisenberg 군 H의 닫힌 부분군 공간이 Chabauty 위상 하에서 어떤 위상적 구조를 가지는가?
• RQ2 Heisenberg 군 H의 격자 공간 ℒₙ(H)는 자동사상군 Aut(H)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 ℒₙ(H)의 경계 𝒞(H)에서의 분해는 무엇이며, 이 성분들은 Aut(H)-궤도와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 ℒₙ(H)의 공간은 동치공간 위상동형이며, 만약 그렇다면 어떤 동치공간인가?
• RQ5 ℒₙ(H)의 경계 내의 부분공간들 (i)–(ix)는 H의 모든 닫힌 부분군 공간을 어떻게 분할하는가?

주요 결과

• 3차원 Heisenberg 군 H의 닫힌 부분군 공간 𝒞(H)는 6차원의 특이 위상공간이다.
• 격자 공간 ℒₙ(H)는 동치공간 ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ) 위상동형이며, 이는 비가역적이다.
• ℒₙ(H)의 경계는 n에 관계없이 일정하며, Aut(H)-궤도 닫힘 𝒜(H)와 𝒞≥Z(H) igcup ℒ∞(H) 내부의 2차원 구면 Σ²의 합집합으로 이루어져 있다.
• 경계는 아홉 개의 부분공간으로 분해되며, (i)–(vi)는 𝒜(H)를 형성하고, (vii)와 (viii)는 Σ² ackslash (Σ² ∩ 𝒜(H)) 내에 있으며, (ix)는 ℒ∞(H)의 보다 𝒞≥Z(H) 내의 여집합이다.
• 경계 성분들 중 (vi)를 제외한 모든 성분들은 Aut(H)-궤도의 유한한 합집합이며, 각각 𝒞(H)에서 닫혀 있다.
• 모든 n ≥ 1에 대해 ℒₙ(H)의 합집합은 𝒞(H)에서 밀도가 있으며, 이와 아홉 개의 경계 성분들이 함께 𝒞(H)의 분할을 이룬다.