[논문 리뷰] Spaces of states of the two-dimensional O(n) and Potts models

Jesper Lykke Jacobsen, Sylvain Ribault외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 30.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 독립적인 방법인 비틀린 토러스 분할 함수와 다이어그램 대수의 분해 규칙을 사용하여, 2차원 O(n) 및 Q-state Potts 모델의 상태 공간을 그들의 전역 대칭군인 O(n) 및 S_Q의 표현으로서 규명한다. 이는 양의 다이어그램과 체비셰프 다항식을 통해 명시적인 표현을 유도하며, 네점 함수에 대한 부트스트랩 결과와의 일관성을 확인하고, 일반적인 n, Q ∈ ℂ에 대해 임계 CFT의 정확한 분해 규칙을 제공한다.

ABSTRACT

We determine the spaces of states of the two-dimensional $O(n)$ and $Q$-state Potts models with generic parameters $n,Q\in \mathbb{C}$ as representations of their known symmetry algebras. While the relevant representations of the conformal algebra were recently worked out, it remained to determine the action of the global symmetry groups: the orthogonal group for the $O(n)$ model, and the symmetric group $S_Q$ for the $Q$-state Potts model. We do this by two independent methods. First we compute the twisted torus partition functions of the models at criticality. The twist in question is the insertion of a group element along one cycle of the torus: this breaks modular invariance, but allows the partition function to have a unique decomposition into characters of irreducible representations of the global symmetry group. Our second method reduces the problem to determining branching rules of certain diagram algebras. For the $O(n)$ model, we decompose representations of the Brauer algebra into representations of its unoriented Jones--Temperley--Lieb subalgebra. For the $Q$-state Potts model, we decompose representations of the partition algebra into representations of the appropriate subalgebra. We find explicit expressions for these decompositions as sums over certain sets of diagrams, and over standard Young tableaux. We check that both methods agree in many cases. Moreover, our spaces of states are consistent with recent bootstrap results on four-point functions of the corresponding CFTs.

연구 동기 및 목표

• 2차원 O(n) 및 Q-state Potts 모델의 상태 공간을 그들의 전역 대칭군인 O(n) 및 S_Q의 표현으로 완전히 특성화하는 것.
• 이전까지 알려져 있던 conformal 대칭 대칭 대칭 대칭의 초월하여, O(n) 및 S_Q의 작용이 conformal 대칭 대칭 대칭의 상태에 어떻게 작용하는지 규명하는 것.
• 일반 매개수 n, Q ∈ ℂ를 가진 임계 O(n) 및 Potts 모델에 대한 통합된 프레임워크를 제공하고, 부트스트랩 결과와 일관되게 하는 것.
• 두 가지 독립적인 방법을 통해 전역 대칭에 따른 상태 분해의 명시적이고 계산 가능한 표현을 제공하는 것.
• 다양한 경우에 걸쳐 대수적 방법과 분할 함수 기반 방법 간의 일관성을 검증하는 것.

제안 방법

• 토러스의 한 사이클을 따라 군 원소를 삽입하여 비틀린 토러스 분할 함수를 계산함으로써, 모듈라 불변성을 깨뜨리지만 전역 대칭군의 기약 표현으로의 유일한 분해를 가능하게 한다.
• O(n) 모델에 대해서는 브라우어 대수, Potts 모델에 대해서는 분할 대수를 사용하여 전역 대칭의 상태 공간에 대한 작용을 기술한다.
• O(n) 모델에 대해 브라우어 대수 ℬ_L(n)에서의 무방향 존스-템퍼리-라이브 서브대수로의 분해 규칙을 유도하고, Potts 모델에 대해 분할 대수 ℒ_L(Q)에서의 PT-L 서브대수로의 분해 규칙을 유도한다.
• 분해 표현을 다이어그램과 표준 양의 표준 테이블라우에 대한 합으로 표현함으로써, 다중성 계수의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 다양한 L 및 r 값에 대해 분해 계수를 비교하여 비틀린 분할 함수와 대수적 방법 간의 일관성을 검증한다.
• 전이 행렬의 대각화와 양의 프로젝터 분석을 활용하여 저-r 표현에 대해 분해 계수를 계산하고 상호 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 n, Q ∈ ℂ에 대해, 2차원 O(n) 및 Q-state Potts CFT의 상태 공간에 대한 전역 대칭군 O(n) 및 S_Q의 작용은 어떻게 되는가?
• RQ2 비틀린 분할 함수와 다이어그램 대수의 분해 규칙을 통해 전역 대칭 표현의 분해를 독립적으로 계산할 수 있으며, 두 방법 간에 일치하는가?
• RQ3 O(n) 및 Potts 모델의 상태 공간 분해에서 기약 표현의 다중성은 어떤 명시적 표현으로 기술되는가?
• RQ4 최근 네점 함수에 대한 부트스트랩 결과와 결과는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 브라우어 대수 및 분할 대수의 표현이 각각의 서브대수로 제한되었을 때의 정확한 분해 규칙는 무엇인가?

주요 결과

• O(n) CFT의 상태 공간은 r ∈ ½ℕ*, s ∈ ½ℤ로 표시되는 표현 Λ_(r,s)로 분해되며, 양의 다이어그램과 체비셰프 다항식을 통해 명시적인 표현이 제공된다.
• O(n) 모델의 경우, 브라우어 대수 ℬ_L(n)에서의 uJTL 서브대수로의 분해 규칙는 r' 및 양의 다이어그램에 대한 합으로 주어지며, 계수는 체비셰프 다항식과 gcd 조건을 포함한다.
• Potts 모델의 경우, 분할 대수 ℒ_L(Q)에서의 PT-L 서브대수로의 분해는 다중성 d^λ_(r,s)를 포함한 명시적 분해 규칙을 제공하며, L=8까지 검증되었다.
• 다중성 d^[L-1,1]_(L,k/L)는 k ≠ 0일 때 1이고, k=0일 때 0이며, 기본 표현의 차원 L−1과 일치한다.
• [L−2,2] 표현의 경우, 짝수 k에 대해 ⌊(L−2)/2⌋, 홀수 k에 대해 ⌊(L−3)/2⌋이며, 총합은 ½L(L−3)이 되며, 후크 길이 공식과 일치한다.
• [L−2,1,1] 표현의 경우, k=0일 때 1+⌊(L−3)/2⌋, 비영인 짝수 k일 때 ⌊(L−3)/2⌋, 홀수 k일 때 ⌊(L−2)/2⌋이며, 총합은 ½(L−1)(L−2)가 되며, L=7까지 확인되었다.