[논문 리뷰] Spaces of tilings, finite telescopic approximations and gap-labelling

Jean Bellissard, Riccardo Benedetti외 1명|ArXiv.org|2001. 09. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^d $에서의 비정규 타일링에 대해 연속적 힐ล $ \Omega_T $를 분지하고, 방향이 부여된, 평평한 $ d $-다양체의 프로젝티브 극한으로 구성하여, 시스템의 역학적 및 위상적 불변량을 반영하는 유한한 텔레스코픽 근사가 가능하도록 한다. 주요 결과는 $ \mathcal{A}_T $의 $ K_0 $-군에 대한 갭 레이블 집합이 캄토어 집합 횡단선 $ \Gamma_T $ 위에서 정수 값을 갖는 연속 함수에 의해 전이 불변 측도 $ \mu^t $의 이미지와 일치함을 증명하여 오랫동안 제기된 추측을 확인한다.

ABSTRACT

For a large class of tilings, including the Penrose tiling in two dimension as well as the icosahedral ones in 3 dimension, the continuous hull of such a tiling inherits a minimal lamination structure with flat leaves and a transversal which is a Cantor set. In this case, we show that the continuous hull can be seen as the projective limit of a suitable sequence of branched, oriented and flat compact manifolds.The algebraic topological features related to this sequence reflect the dynamical properties of the action on the continuous hull. In particular the set of positive invariant measures of this action turns to be a convex cone, canonically associated with the orientation, in the projective limit of the top homology groups of the branched manifolds. As an application of this construction we prove a gap-labelling theorem.

연구 동기 및 목표

• 유한 국소 복잡도와 반복성을 갖는 $ \mathbb{R}^d $에서의 비정규 타일링의 연속적 힐 $ \Omega_T $에 대한 기하학적 및 위상적 프레임워크를 제공한다.
• 근사 다각형의 프로젝티브 극한을 사용하여 $ \Omega_T $에서의 $ \mathbb{R}^d $-작용의 渐近 역학을 모델링하는 유한 텔레스코픽 근사 체계를 수립한다.
• 정수 값을 갖는 연속 함수에 의해 $ \Gamma_T $에서의 전이 측도 $ \mu^t $의 이미지와 정확히 일치하는 $ \mathcal{A}_T $의 $ C^* $-대수의 $ K_0 $-군에 대한 갭-레이블 집합을 증명함으로써 갭-레이블링 추측을 증명한다.

제안 방법

• 연속적 힐 $ \Omega_T $를 각각의 유한 근사가 되는 분지하고, 방향이 부여된, 평평한 컴act $ d $-다양체의 수열의 프로젝티브 극한으로 표현한다.
• $ \Omega_T $에서의 $ \mathbb{R}^d $-작용을 이용하여 근사 다각형의 방향과 자연스럽게 관련된 양의 불변 측도의 볼록 코너를 정의한다.
• $ \mathcal{A}_T = \mathcal{C}(\Omega_T) \rtimes \mathbb{R}^d $의 $ K_0 $-군을 톰-콘스 이sovorphism를 통해 근사 다각형의 $ d $-번째 코homology와 연결한다.
• 보트 주기성과 핀스너-보이쿨루스 정확수열을 적용하여 $ K_0(\mathcal{A}_T) $를 근사 다각형의 호모로지와 프로젝션의 찰스 클래스와 연결한다.
• 톰-콘스 정리를 적용하여 $ K_0(\mathcal{A}_T) $에서의 트레이스 $ \mathcal{T}_\mu(P) $를 전이 측도 $ \mu^t $와 $ k_d \eta $가 나타내는 정수 코homology 클래스 사이의 페어링으로 표현한다. 여기서 $ \eta $는 유니타리 또는 프로젝션으로부터 유도된 미분형식이다.
• $ k_d \eta $ 가 $ H^d(B_n, \mathbb{Z}) $에서 정수 코homology 클래스(찰스 클래스)를 나타내며, 트레이스 값이 $ d $ 가 짝수일 경우 $ <\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)> $, 홀수일 경우 $ <S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)> $ 와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 타일링의 연속적 힐 $ \Omega_T $는 어떻게 분기하고, 방향이 부여된, 평평한 $ d $-다양체의 유한 차원 근사로 근사할 수 있는가?
• RQ2 $ \mathcal{A}_T $의 $ K_0 $-군과 근사 다각형의 $ d $-번째 호모로지 군의 프로젝티브 극한 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 $ \mathcal{A}_T $의 $ K_0 $-군에 대한 갭-레이블 집합은 캄토어 집합 $ \Gamma_T $에서의 전이 불변 측도 $ \mu^t $가 정수 값을 갖는 연속 함수에 의해 전달하는 이미지와 일치하는가?
• RQ4 $ \mathcal{A}_T $의 $ K $-이론에서의 프로젝션의 찰스 클래스는 불변 측도 $ \mu $에 대한 트레이스 값 $ \mathcal{T}_\mu(P) $와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 기하적 근사와 톰-콘스 이sovorphism를 사용하여 고차원에서 갭-레이블링 추측을 엄밀하게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 국소 복잡도와 반복성을 갖는 타일링의 연속적 힐 $ \Omega_T $는 분기하고, 방향이 부여된, 평평한 컴act $ d $-다양체의 수열의 프로젝티브 극한으로 실현된다.
• $ \Omega_T $에서의 양의 $ \mathbb{R}^d $-불변 측도 집합은 근사 다각형의 방향과 자연스럽게 관련되며, 그들의 $ d $-번째 호모로지 군의 프로젝티브 극한 내의 볼록 코너를 이룬다.
• 갭-레이블링 정리가 증명된다: $ \mathcal{T}_\mu(K_0(\mathcal{A}_T)) = \int_{\Gamma_T} d\mu^t \, \mathcal{C}(\Gamma_T, \mathbb{Z}) $, 갭-레이블이 정확히 캄토어 집합 $ \Gamma_T $ 위에서 정수 값을 갖는 연속 함수의 적분임을 확인한다.
• $ \mathcal{A}_T $의 $ K_0(\mathcal{A}_T) $에서의 트레이스 $ \mathcal{T}_\mu(P) $는 $ d $ 가 짝수일 경우 $ <\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)> $, 홀수일 경우 $ <S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)> $ 와 일치하며, 여기서 $ \beta $ 는 톰-콘스 이sovorphism에 의한 $ [P] $ 의 이미지이다.
• 톰-콘스 정리에서의 정규화 상수 $ k_d $ 는 미분형식 $ k_d \eta $ 가 $ H^d(B_n, \mathbb{Z}) $ 에서 정수 코homology 클래스를 나타내도록 하며, $ K $-이론과 정수 코homology 사이의 연결고리가 된다.
• 결과적으로 $ \mathbb{R}^d $-불변 측도를 갖는 타일링 힐의 갭-레이블링 추측이 횡단 캄토어 집합의 구조를 갖는 경우에 대해 확인되었으며, 이는 이전의 $ d=1 $ 및 $ d=2 $ 결과를 임의의 $ d $ 에 일반화한다.