[논문 리뷰] Spanning Trees and Spanning Eulerian Subgraphs with Small Degrees. II

Morteza Hasanvand|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실수 매개변수 λ를 포함하는 새로운 차수 함수 조건을 사용하여, 그래프에서 차수 제한이 있는 스패닝 트리 및 스패닝 올레라닉 부분그래프의 존재를 위한 충분조건을 확립한다. 이 조건 하에서 그래프는 제어 가능한 차수를 가진 스패닝 트리를 갖으며, 이는 간선연결성과 트러프 그래프로까지 확장되며, 잭슨과 워머럴드가 제기한 오랫동안 미해결이었던 추측을 해결한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with $X\subseteq V(G)$ and with the spanning forest $F$. Let $\lambda\in [0,1]$ be a real number and let $\eta:X ightarrow (\lambda,\infty)$ be a real function. In this paper, we show that if for all $S\subseteq X$, $\omega(G\setminus S)\le\sum_{v\in S}\big(\eta(v)-2\big)+2-\lambda(e_G(S)+1)$, then $G$ has a spanning tree $T$ containing $F$ such that for each vertex $v\in X$, $d_T(v)\le \lceil\eta(v)-\lambda ceil+\max\{0,d_F(v)-1\}$, where $\omega(G\setminus S)$ denotes the number of components of $G\setminus S$ and $e_G(S)$ denotes the number of edges of $G$ with both ends in $S$. This is an improvement of several results and the condition is best possible. Next, we also investigate an extension for this result and deduce that every $k$-edge-connected graph $G$ has a spanning subgraph $H$ containing $m$ edge-disjoint spanning trees such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-2m)\big ceil+2m$, where $k\ge 2m$; also if $G$ contains $k$ edge-disjoint spanning trees, then $H$ can be found such that for each vertex $v$, $d_H(v)\le \big\lceil \frac{m}{k}(d_G(v)-m)\big ceil+m$, where $k\ge m$. Finally, we show that strongly $2$-tough graphs, including $(3+1/2)$-tough graphs of order at least three, have spanning Eulerian subgraphs whose degrees lie in the set $\{2,4\}$. In addition, we show that every $1$-tough graph has spanning closed walk meeting each vertex at most $2$ times and prove a long-standing conjecture due to Jackson and Wormald (1990).

연구 동기 및 목표

• 기존의 차수 제한이 있는 스패닝 트리에 관한 결과를 실수 매개변수 λ를 포함하는 민첩한 차수 함수 조건을 도입하여 일반화함.
• 차수 제어가 가능한 스패닝 부분그래프 이론을 간선연결성과 트러프 그래프로 확장함.
• 잭슨과 워머럴드(1990)가 제기한 1-트러프 그래프와 닫힌 순회에 관한 오랫동안 미해결이었던 추측을 해결함.
• 이러한 부분그래프의 존재를 위한 날카롭고 최적의 조건을 제공하여 이전 정리들을 향상시킴.

제안 방법

• 실수 매개변수 λ ∈ [0,1]와 함수 η: X → (λ, ∞)를 도입하여 스패닝 트리에서의 정점 차수를 제어함.
• 정점 부분집합 S ⊆ X에 대한 구조적 조건: ω(G∖S) ≤ ∑_{v∈S}(η(v)−2) + 2 − λ(e_G(S)+1)를 사용하여 성분 수와 간선 밀도를 연결함.
• 귀납법과 간선 제거 기법을 적용하여 주어진 차수 제한이 있는 삼각형림 F를 포함하는 스패닝 트리 T를 구성함.
• 차수 경계 유도: v ∈ X에 대해 d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1}을 유도함.
• 주요 결과를 k-간선연결 그래프에 적용하여, m개의 간선소속 스패닝 트리가 포함된 스패닝 부분그래프 H를 구성함.
• 강도 조건(예: 2-트러프 또는 (3+1/2)-트러프)을 사용하여 차수 집합 {2,4}를 갖는 스패닝 올레라닉 부분그래프의 존재를 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결 그래프가 주어진 삼각형림을 포함하고, 정점 차수에 제한이 있는 스패닝 트리를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 실수 매개변수 λ와 차수 함수 η를 사용하여 이러한 스패닝 트리의 차수 경계를 어떻게 최적화할 수 있는가?
• RQ3 결과를 간선연결 그래프로 확장하여, 다수의 간선소속 스패닝 트리와 제어 가능한 차수를 갖는 스패닝 부분그래프를 보장할 수 있는가?
• RQ4 강력한 2-트러프 그래프, 특히 (3+1/2)-트러프 그래프는 항상 차수 집합 {2,4}를 갖는 스패닝 올레라닉 부분그래프를 갖는가?
• RQ5 모든 1-트러프 그래프는 각 정점을 최대 두 번만 방문하는 스패닝 닫힌 순회를 갖는가? 이는 잭슨–워머럴드 추측을 확인하는 것이다.

주요 결과

• 논문은 주어진 삼각형림 F를 포함하는 스패닝 트리 T의 존재를 위한 최적의 충분조건을 확립하였으며, 모든 v ∈ X에 대해 d_T(v) ≤ ⌈η(v)−λ⌉ + max{0, d_F(v)−1}을 만족함.
• 모든 k-간선연결 그래프 G(여기서 k ≥ 2m)에 대해, m개의 간선소속 스패닝 트리를 포함하는 스패닝 부분그래프 H가 존재하며, d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−2m)⌉ + 2m를 만족함.
• G가 k ≥ m개의 간선소속 스패닝 트리를 포함한다면, H는 d_H(v) ≤ ⌈(m/k)(d_G(v)−m)⌉ + m를 만족하도록 구성될 수 있음.
• 3+1/2-트러프 그래프이면서 순서가 3 이상인 그래프, 더 일반적으로 강력한 2-트러프 그래프는 모든 정점 차수가 {2,4}인 스패닝 올레라닉 부분그래프를 갖는다.
• 모든 1-트러프 그래프는 각 정점을 최대 두 번만 방문하는 스패닝 닫힌 순회를 갖는다. 이는 잭슨–워머럴드(1990)의 추측을 확인하는 것이다.
• 주요 차수 제한 스패닝 트리 조건은 날카롭고, 기존 그래프 이론의 여러 결과를 향상시킨다.