[논문 리뷰] Sparse decompositions of nonlinear dynamical systems and applications to moment-sum-of-squares relaxations

Corbinian Schlosser, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 10.

Advanced Optimization Algorithms Research인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 인과적 의존 구조를 기반으로 비선형 동적 시스템을 위한 희소 분해 프레임워크를 제안하며, 영향의 영역(ROA), 최대 양의 불변 집합(MPI), 그리고 글로벌 아트랙터와 같은 핵심 집합을 계산할 때 차원 감소를 가능하게 한다. 하위계의 희소성 특성을 활용하여, 수렴 보장을 유지하면서 볼록 최적화를 통한 저차원의 제곱합(SOS) 근사화를 실현함으로써, 정확도를 희생시키지 않고 정수형 프로그래밍(SDP) 크기를 크게 줄였다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a general sparse decomposition of dynamical systems provided that the vector field and constraint set possess certain sparse structures, which we call subsystems. This notion is based on causal dependence in the dynamics between the different states. This results in sparse descriptions for fundamental problems from nonlinear dynamical systems: region of attraction, maximum positively invariant set, and global attractor. The decompositions can be paired with any method for computing (outer) approximations of these sets to reduce the computation to lower dimensional systems. This is illustrated by methods from previous work based on infinite-dimensional linear programming. This exhibits one example where the curse of dimensionality is present and hence dimension reduction is crucial. In this context, for polynomial dynamics, we show that these problems admit a sparse sum-of-squares (SOS) approximation with guaranteed convergence such that the number of variables in the largest SOS multiplier is given by the dimension of the largest subsystem appearing in the decomposition. The dimension of such subsystems depends on the sparse structure of the vector field and the constraint set; if the dimension of the largest subsystem is small compared to the ambient dimension, this allows for a significant reduction in the computation time of the SOS approximations. Numerical examples accompany the approach.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동적 시스템에서 영향의 영역(ROA), 최대 양의 불변 집합(MPI), 글로벌 아트랙터(GA)와 같은 기본 집합을 계산할 때 발생하는 차원의 저주를 해결하기 위해.
• 고차원 시스템을 인과적으로 독립된 하위계로 분해하는 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 희소성 이용 조건 하에서도 순간-제곱합(SOS) 근사화를 적용할 때 수렴 보장을 유지하기 위해.
• 좌표에 종속되지 않은, 구조를 고려한 방법을 제공하여 특정 솔버를 넘어서 어떤 외부 근사 방법(수렴 성질을 만족하는 경우)에도 적용 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 벡터장과 제약 조건 집합의 인과적 의존성에 기반해 하위계를 식별하고, 동역학이 인과적으로 분리되는 상태 변수의 분할을 정의한다.
• 각 하위계가 상태 공간의 인수분해를 유도하는 최소 분할에 대응하는 그래프 기반의 구조를 도입하며, 한 하위계의 동역학이 다른 하위계에 영향을 주지 않도록 보장한다.
• 실행 교차 성질과 다항식 동역학의 희소성 활용을 통해, 최대 SOS 승수 차원이 가장 큰 하위계 크기와 일치하는 희소 제곱합(SOS) 근사화를 구성한다.
• 각 하위계에 대해 순간-제곱합(SOS) 계층을 독립적으로 적용하여, 바깥 쪽에서 진짜 집합으로의 수렴을 유지한다.
• 이 방법은 어떤 외부 근사 방법(예: 무한차원 선형계획법, 집합 기반 방법 등)과도 호환되며, 수렴 보장을 만족하는 경우에 적용 가능하다.
• 분할의 닫힌 가족에 속하는 색인 집합의 위상 구조를 통해 분해를 계산하며, 닫힌 가족의 최소 원소들이 상태 공간의 최고 해상도 인수분해를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 동적 시스템에서 인과적 희소성은 고차원 문제를 수렴 보장을 유지하면서도 저차원 하위계로 분해하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ2 영향의 영역, MPI 집합, 글로벌 아트랙터에 대해 수렴을 유지하면서 어떻게 희소 제곱합(SOS) 근사화를 구성할 수 있는가?
• RQ3 벡터장과 제약 조건 집합에 어떤 구조적 조건이 있어야 유효하고 최소한의 하위계 분해가 가능할 수 있는가?
• RQ4 순간-제곱합(SOS) 계층을 하위계에 독립적으로 적용할 수 있으며, 이로써 진짜 불변 집합으로의 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ5 좌표에 종속되지 않은, 구조를 고려한 분해를 통해 동적 시스템의 정수형 프로그래밍(SDP) 근사화에서 차원 감소를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 인과적으로 독립된 하위계로 시스템을 분해함으로써, 영향의 영역, MPI 집합, 글로벌 아트랙터에 대해 수렴 보장이 유지되는 저차원 제곱합(SOS) 근사화를 가능하게 한다.
• SOS 근사화에서 가장 큰 정수형 프로그래밍(SDP)의 크기는 전체 시스템의 크기가 아니라 가장 큰 하위계의 크기만에 의존하므로, 상당한 계산적 절감이 가능하다.
• 이 프레임워크는 일반적이며, 수렴 보장을 만족하는 어떤 외부 근사 방법(순간-제곱합(SOS) 계층, 집합 기반 방법 등)에도 적용 가능하다.
• 분할은 닫힌 색인 집합의 가족에서 유도된 상태 변수의 최소 분할에 기반하며, 상태 공간의 최고 해상도 인수분해를 보장한다.
• 이 방법은 다항식의 대수적 희소성 대신 동역학의 구조적 희소성을 활용함으로써, 이전의 희소성 기반 방법에서 관찰된 수렴 손실을 피한다.
• 수치 예제들은 이 방법이 SDP 크기를 줄이는 데 효과적이며, 동시에 진짜 불변 집합으로의 수렴을 유지함을 보여준다.