[논문 리뷰] Sparse Index Tracking Based On $L_{1/2}$ Model And Algorithm

Fengmin Xu, Zongben Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 19.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $L_{1/2}$ 정규화를 사용하여 포트폴리오의 희소성과 샘플 외 성능을 향상시키는 새로운 희소 인덱스 트래킹 모델을 제안한다. 기존의 기수 제약 조건 대신 $L_{1/2}$ 노름 제약 조건을 도입하고 하이브리드 하프스레시홀딩 알고리즘을 적용함으로써, 특히 $N > 1000$주를 포함한 대규모 인덱스 문제에서 $L_1$ 기반 방법에 비해 더 낮은 트래킹 오차와 높은 일관성을 달성한다.

ABSTRACT

Recently, $L_1$ regularization have been attracted extensive attention and successfully applied in mean-variance portfolio selection for promoting out-of-sample properties and decreasing transaction costs. However, $L_1$ regularization approach is ineffective in promoting sparsity and selecting regularization parameter on index tracking with the budget and no-short selling constraints, since the 1-norm of the asset weights will have a constant value of one. Our recent research on $L_{1/2}$ regularization has found that the half thresholding algorithm with optimal regularization parameter setting strategy is the fast solver of $L_{1/2}$ regularization, which can provide the more sparse solution. In this paper we apply $L_{1/2}$ regularization method to stock index tracking and establish a new sparse index tracking model. A hybrid half thresholding algorithm is proposed for solving the model. Empirical tests of model and algorithm are carried out on the eight data sets from OR-library. The optimal tracking portfolio obtained from the new model and algorithm has lower out-of-sample prediction error and consistency both in-sample and out-of-sample. Moreover, since the automatic regularization parameters are selected for the fixed number of optimal portfolio, our algorithm is a fast solver, especially for the large scale problem.

연구 동기 및 목표

• 인덱스 트래킹에서 예산 제약과 공매도 금지 조건 하에서 $L_1$ 정규화가 희소성을 촉진하는 데에 한계가 있음을 해결하기 위해.
• 낮은 샘플 외 예측 오차와 높은 일관성을 유지하면서 더 효과적인 희소 인덱스 트래킹 모델을 개발하기 위해.
• 대규모 인덱스 트래킹 문제를 위해 $L_{1/2}$ 정규화를 사용하는 빠르고 효율적인 솔버를 설계하기 위해.
• 기수 제약 조건을 $L_{1/2}$ 노름 제약 조건으로 대체하여 희소성과 최적화 효율성을 향상시키기 위해.
• OR 라이브러리에서 제공하는 실제 데이터 세트를 사용하여 모델의 성능을 검증하기 위해, 특히 S&P 500 및 Russell 3000과 같은 대규모 인덱스를 포함하여.

제안 방법

• 기수 제약 조건 대신 $L_{1/2}$ 노름 제약 조건 $\|w\|_{1/2}^{1/2} = K$ 를 적용하여 새로운 희소 인덱스 트래킹 모델을 수립한다.
• 최적의 정규화 파rameter 선택 전략을 활용하여 $L_{1/2}$ 정규화 문제를 신속하게 해결하는 데 사용되는 하이브리드 하프스레시홀딩 알고리즘을 적용한다.
• 하프스레시홀딩 연산자에서 유도된 스레시홀딩 전략을 통해 정확도를 유지하면서도 희소성을 촉진한다.
• 예산 제약과 공매도 금지 조건 하에서 최적화 문제를 해결하기 위해 알고리즘을 적용하여 현실적인 포트폴리오 구성이 가능하도록 한다.
• 수동 조정 없이 성능을 향상시키기 위해 자동 정규화 파rameter 선택 기법을 도입한다.
• 8개의 OR 라이브러리 데이터 세트를 사용하여 모델을 검증하였으며, 최대 2151개의 구성 종목을 포함한 대규모 인덱스를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $L_{1/2}$ 정규화가 예산 제약과 공매도 금지 조건 하에서 $L_1$ 정규화보다 희소성 촉진과 샘플 외 트래킹 오차 감소에 더 우수한 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 하이브리드 하프스레시홀딩 알고리즘이 기존 방법에 비해 희소 인덱스 트래킹 문제에서 더 빠른 수렴 속도와 높은 해의 질을 제공하는가?
• RQ3 S&P 500 및 Russell 3000과 같은 대규모 인덱스를 포함한 다양한 인덱스 크기에서, 제안된 모델의 일관성과 예측 오차는 어떻게 되는가?
• RQ4 $L_{1/2}$ 기반 모델이 $L_1$ 기반 모델보다 더 적은 트래킹 종목 수로 유사하거나 더 뛰어난 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 알고리즘이 수천 개의 자산을 포함한 대규모 인덱스 트래킹 문제에 대해 확장 가능하고 효율적인가?

주요 결과

• $L_{1/2}$ 모델은 $L_1$ 모델보다 낮은 샘플 외 예측 오차를 기록하였으며, 다양한 인덱스와 $K$ 값에서 $SupO$ 값은 0.44%에서 37.18%까지 변동하였다.
• 항셍 인덱스의 경우, $K=5$주로 구성된 $L_{1/2}$ 모델이 $K=10$주로 구성된 $L_1$ 모델의 샘플 외 오차를 동일하게 유지하면서도 희소성 효율성이 뛰어나다는 점을 입증하였다.
• S&P 500 ($N=457$)의 경우, $K=10$에서 $L_{1/2}$ 모델이 $L_1$ 모델 대비 최대 26.88%의 샘플 외 오차 감소를 기록하였다.
• Russell 3000 ($N=2151$)의 경우, $K=50$에서 $L_{1/2}$ 모델이 $L_1$ 모델 대비 샘플 외 오차에서 1.44% 향상된 성능을 보였으며, $SupO=1.44".$ ,
• 하이브리드 하프스레시홀딩 알고리즘은 최적의 정규화 파rameter 선택 전략 덕분에 대규모 문제에서 빠른 수렴 속도와 높은 효율성을 보였다.
• 모델은 높은 내재성 및 샘플 외 일관성을 유지하였으며, $L_{1/2}$ 기반 포트폴리오는 $L_1$ 기반 대비 더 높은 안정성과 낮은 터닝오버를 보였다.