[논문 리뷰] Sparse long blocks and the variance of the longest common subsequences in random words

Saba Amsalu, Christian Houdré외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 04.

Random Matrices and Applications참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 희박한 긴 블록이나 이질적인 부분문자열을 포함한 랜덤 문자열에서 가장 긴 공통 부분문자열(LCS)의 분산을 규명하며, 평균 LCS 곡선에 대한 약한 조건 하에서 분산이 문자열 길이에 따라 선형적으로 증가함을 증명한다. 이는 계산 생물학에서 사용되는 모델을 포함한 현실적인 모델에서 선형 분산을 보임을 보여, 이전에 저엔트로피 경우에 국한된 결과를 초월하여 오랫동안 미해결이었던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Consider two independent random strings having same length and taking values uniformly in a common finite alphabet. We study the order of the variance of the length of the longest common subsequences (LCS) of these strings when long blocks, or other types of atypical substrings, are sparsely added into one of them. Under weak conditions on the derivative of the mean LCS-curve, the order of the variance of the LCS is shown to be linear in the length of the strings. We also argue that our proofs carry over to many models used by computational biologists to simulate DNA-sequences. This is the first result where the open question of the order of the fluctuation of the LCS of random strings is solved for a realistic model. Until now, this type of result had only been established for low entropy cases.

연구 동기 및 목표

• 희박한 긴 블록이나 이질적인 부분문자열을 포함한 랜덤 문자열에서 LCS 길이의 渐近적 순서를 규명하는 것.
• 특히 계산 생물학에서 사용되는 모델을 포함한 현실적인 확률 모델에서 LCS의 변동 순서에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 이전에 저엔트로피 경우에 국한된 결과를 넘어서, 평균 LCS 곡선의 도함수에 대한 약한 조건 하에서도 선형 분산이 유지됨을 보여주는 것.
• DNA 서열을 시뮬레이션하는 모델에 대해 증명이 적용됨을 확립하여 생물학적 서열 분석과의 관련성을 높이는 것.

제안 방법

• 단위 길이당 최종 평균 LCS의 존재성을 보장하기 위해 하향성 불등식을 사용하여 γ*ₖ를 도입한다.
• 한 문자열에 희박한 긴 블록이나 이질적인 부분문자열을 추가한 경우의 LCS 길이를 분석한다.
• 집중 불등식을 적용하여 LCS 점수의 최대 편차를 제한함으로써, 추가된 부분문자열에 의한 LCS의 변동이 확률적으로 제어됨을 보여준다.
• 편향 분해 기법을 사용하여 정렬된 문자열 쌍과 변형된 문자열 쌍 간의 LCS 길이를 비교하고, 추가된 부분문자열에 의한 기대 증가량을 분리한다.
• γₖ(n,p) → γₖ(p)로의 수렴 속도를 활용하며, Alexander(1994, 1998)의 O(ln n / √n) 오차 bound를 사용하여 근사 오차를 제어한다.
• LCS 성장 함수 γₖ(p)의 볼록성과 대칭성을 활용하여, 부분문자열 추가 시 기대 LCS 증가량의 하한을 유도함으로써 선형 분산 스케일링을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 긴 블록이나 이질적인 부분문자열이 포함된 랜덤 문자열에서 LCS 길이의 점점 커지는 분산의 순서는 무엇인가?
• RQ2 저엔트로피 경우에서 관찰된 선형 분산 스케일링이, DNA 서열을 위한 계산 생물학에서 사용되는 더 현실적인 모델로까지 확장되는가?
• RQ3 평균 LCS 곡선의 도함수에 대한 약한 조건 하에서도 LCS의 분산이 선형으로 스케일링되는가?
• RQ4 긴 블록과 같은 펌프터베이션은 기대 LCS 길이에 어떤 영향을 미치며, 이를 정량화하여 분산 행동을 유추할 수 있는가?
• RQ5 변형된 문자열에서 분산 스케일링에 대한 증명이 생물학적 서열을 시뮬레이션하는 모델로 얼마나 잘 일반화되는가?

주요 결과

• 평균 LCS 곡선의 도함수에 대한 약한 조건 하에서, LCS 길이의 분산이 문자열 길이 n에 따라 선형적으로 증가함을 보였다. 즉, Var(LCₙ) = Θ(n).
• 이 결과는 현실적인 모델에서 랜덤 문자열의 LCS 변동 순서에 대한 오랫동안 미해결이었던 열린 문제를 해결하며, 이전에 알려진 저엔트로피 경우에 국한된 결과를 초월한다.
• 증명 과정이 계산 생물학자들이 DNA 서열을 시뮬레이션하는 데 사용하는 모델로까지 확장 가능하여 논문의 생물학적 관련성을 높인다.
• 길이 r의 부분문자열을 추가했을 때 기대 증가량은 r(γₖ(pᵢ)/2 − |γ′(pᵢᵢ−)|/2) + O(√(s+t) ln(s+t)) 이하로 하한이 보장되어 선형 편향이 확보된다.
• 측도 집중 원리에 의해, 랜덤 변동에 의한 LCS 점수의 최대 편차는 O(√d ln d) 이며, 이는 선형 이하이므로 전체적인 선형 분산 스케일링에 영향을 주지 않는다.
• 핵심 기술 기여는, 긴 블록이 희박하게 추가되더라도 분산이 선형으로 증가함을 보장하는 기대 증가량에 대한 하한을 도출한 것이다.