[논문 리뷰] Sparse Phase Retrieval: Uniqueness Guarantees and Recovery Algorithms

Kishore Jaganathan, Samet Oymak외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 12.

Advanced X-ray Imaging Techniques인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $2n$-점 DFT를 사용하여 전역 위상, 시간 이동, 켤레 역전을 제외한 $O(n^{1/2-\rho})$-희소 신호를 유일하게 복원할 수 있는 이단계 희소 복원 알고리즘(TSPR)을 제안한다. 이 알고리즘은 비주기적 지지집합을 가진 거의 모든 신호가 이러한 조건 하에서 유일하게 복원 가능하다는 것을 증명하며, 노이즈 하에서 $O(n^{1/4-\rho})$-희소 신호에 대해서도 강건한 복원을 보여준다.

ABSTRACT

The problem of signal recovery from its Fourier transform magnitude is of paramount importance in various fields of engineering and has been around for over 100 years. Due to the absence of phase information, some form of additional information is required in order to be able to uniquely identify the signal of interest. In this work, we focus our attention on discrete-time sparse signals (of length $n$). We first show that, if the DFT dimension is greater than or equal to $2n$, almost all signals with {\em aperiodic} support can be uniquely identified by their Fourier transform magnitude (up to time-shift, conjugate-flip and global phase). Then, we develop an efficient Two-stage Sparse Phase Retrieval algorithm (TSPR), which involves: (i) identifying the support, i.e., the locations of the non-zero components, of the signal using a combinatorial algorithm (ii) identifying the signal values in the support using a convex algorithm. We show that TSPR can {\em provably} recover most $O(n^{1/2-\eps})$-sparse signals (up to a time-shift, conjugate-flip and global phase). We also show that, for most $O(n^{1/4-\eps})$-sparse signals, the recovery is {\em robust} in the presence of measurement noise. Numerical experiments complement our theoretical analysis and verify the effectiveness of TSPR.

연구 동기 및 목표

• DFT 차원이 $2n$ 이상일 때, 비주기적 지지집합을 가진 희소 위상 복원의 유일성 보장을 수립하기 위해.
• 지지집합 탐지와 진폭 복원을 분리하는 효율적인 이단계 알고리즘(TSPR)을 개발하기 위해.
• 노이즈가 없는 경우와 노이즈가 있는 경우 모두에서 TSPR에 대한 이론적 복원 보장을 제공하기 위해.
• TSPR가 $O(n^{1/2-\rho})$-희소 신호를 대부분 정확히 복원하고, 노이즈 하에서 $O(n^{1/4-\rho})$-희소 신호를 강건하게 복원할 수 있음을 보여주기 위해.
• 결정적 특성화가 어려운 데 비해, 확률적 분석을 통해 복원 가능한 신호 집합을 기술하기 위해.

제안 방법

• 이중 단계 접근법을 사용한다: 첫 번째 단계에서 조합 최적화 알고리즘이 희소 신호의 지지집합(비영 위치)을 식별한다.
• 두 번째 단계에서 자동상관 제약 조건을 이용해 식별된 지지집합 내에서 신호 값을 복원하는 볼록 최적화 프로그램을 적용한다.
• 신호 값 복원을 모델링하기 위해 그래프 이론적 구성 $H(U)$를 사용한다. 여기서 간선은 측정 가능한 자동상관 쌍을 나타낸다.
• 노이즈가 있는 자동상관 제약 조건 하에서 추적 최소화를 위한 준선형계획법을 적용하여 강건성을 확보한다.
• 랜덤 부분집합 $V$에 정수 쌍이 존재할 확률에 대한 확률적 경계를 적용하여 복원 성공 확률을 분석한다.
• AM-GM 부등식과 양의 준정부호 제약 조건을 적용하여 복원된 행렬의 대각 성분에 대한 오차 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적 지지집합을 가진 희소 신호가 그 푸리에 크기 측정값으로부터 언제 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 이중 단계 알고리즘이 $2n$-점 DFT 측정값으로부터 $O(n^{1/2-\rho})$-희소 신호를 증명 가능한 방식으로 복원할 수 있는가?
• RQ3 복원은 추가 노이즈에 대해 얼마나 강건한가? TSPR이 안정성을 유지하는 희소성 수준은 무엇인가?
• RQ4 랜덤 신호 모델 하에서 복원 알고리즘이 성공할 확률은 얼마인가?
• RQ5 복원 오차는 노이즈 수준과 신호 희소성의 관계로 어떻게 경계될 수 있는가?

주요 결과

• 길이 $n$인 거의 모든 비주기적 지지집합을 가진 신호는 전역 위상, 시간 이동, 켤레 역전을 제외한 $2n$-점 DFT 크기 측정값으로부터 유일하게 복원 가능하다.
• TSPR 알고리즘은 노이즈가 없는 경우 대부분의 $O(n^{1/2-\rho})$-희소 신호를 증명 가능한 방식으로 복원한다. 여기서 $\rho > 0$이다.
• 노이즈가 있는 경우 $O(n^{1/4-\rho})$-희소 신호에 대해 TSPR은 강건한 복원을 보장하며, 복원 오차는 $O(k^2 \eta^2)$ 이하로 경계된다. 여기서 $k$는 희소성이고 $\eta$는 노이즈 수준이다.
• TSPR의 성공 확률은 $n$이 증가함에 따라 1에 수렴한다. 이는 희소 신호에 대해 그래프 $H(U)$가 클리크가 되는 확률이 매우 높기 때문이다.
• 복원된 신호 값의 오차는 $||\mathbf{X}^\dagger - \mathbf{x}_0\mathbf{x}_0^\star||_2^2 \leq 16k^2\eta^2$ 로 경계되어 있으며, 이는 노이즈 하에서도 안정성을 보장한다.
• 이론적 보장은 점 渐진적이고 확률적인 것으로, 신호 지지집합과 노이즈에 대한 랜덤 모델에 의존한다.