[논문 리뷰] Sparse Portfolio Selection via Quasi-Norm Regularization

Caihua Chen, Xindan Li외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 22.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 21인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 $β$-노름 정규화 모델을 제안하여 희소 포트폴리오 선택을 수행하며, 내부점 알고리즘을 사용해 다항 시간 내에 근사적인 2차 KKT 해를 계산한다. 이는 희소성과 투자 수익률 조정 지표인 투영된 샤프 지표 사이의 이론적 연결을 확립하며, $β$-노름 정규화가 마크owitz 모델과 유사한 위험과 수익을 달성하면서도 원하는 희소성을 확보함으로써, 적절한 레버리지와 정규화 조합을 통해 간접적으로 과적합을 완화시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we propose $\ell_p$-norm regularized models to seek near-optimal sparse portfolios. These sparse solutions reduce the complexity of portfolio implementation and management. Theoretical results are established to guarantee the sparsity of the second-order KKT points of the $\ell_p$-norm regularized models. More interestingly, we present a theory that relates sparsity of the KKT points with Projected correlation and Projected Sharpe ratio. We also design an interior point algorithm to obtain an approximate second-order KKT solution of the $\ell_p$-norm models in polynomial time with a fixed error tolerance, and then test our $\ell_p$-norm modes on S&P 500 (2008-2012) data and international market data.\ The computational results illustrate that the $\ell_p$-norm regularized models can generate portfolios of any desired sparsity with portfolio variance and portfolio return comparable to those of the unregularized Markowitz model with cardinality constraint. Our analysis of a combined model lead us to conclude that sparsity is not directly related to overfitting at all. Instead, we find that sparsity moderates overfitting only indirectly. A combined $\ell_1$-$\ell_p$ model shows that the proper choose of leverage, which is the amount of additional buying-power generated by selling short can mitigate overfitting; A combined $\ell_2$-$\ell_p$ model is able to produce extremely high performing portfolios that exceeded the 1/N strategy and all $\ell_1$ and $\ell_2$ regularized portfolios.

연구 동기 및 목표

• 예상 수익률과 공분산 행렬의 노이즈 있는 추정으로 인한 마크owitz 평균-분산 모델의 과적합 문제를 해결하기 위해.
• 거래 및 관리 복잡성을 줄이는 희소 포트폴리오를 이론적으로 근거를 두고 생성하기 위해.
• KKT 점의 희소성과 재무적 리스크 조정 수익률 지표(예: 투영된 샤프 지표) 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 비볼록 $β$-노름 정규화 모델에 대해 근사적인 2차 KKT 해를 다항 시간 내에 계산하는 내부점 알고리즘을 설계하기 위해.
• 희소성이 직접 과적합을 줄이지 않지만, 적절한 정규화 및 레버리지 조합을 통해 간접적으로 과적합을 완화한다는 것을 경험적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 희소 포트폴리오 가중치를 유도하기 위해 $0 < p < 1$ 인 $β$-노름 정규화 최적화 모델을 수립한다.
• 2차 KKT 점이 희소가 되는 이론적 조건을 유도하며, 이는 희소성과 투영된 상관계수 및 투영된 샤프 지표 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 예측-수정 단계를 포함한 내부점 알고리즘을 제안하여 $β$-노름 정규화 문제를 해결하며, $O(\u03b5^{-3/2})$ 반복 내에 $ε$-스케일링된 2차 KKT 해로 수렴함을 보장한다.
• 장애물 방법을 사용하며, 적응형 페널티 파라미터 $λ$와 선형 탐색 전략을 통해 타당성을 유지하고 수렴성을 향상시킨다.
• 과적합 완화에 있어 레버리지의 역할을 탐색하기 위해 $Ø$-노름과 $β$-노름의 조합 모델을 도입한다.
• 비볼록성에 대응하기 위해 수정된 헤시안 근사와 함께 감쇠 뉴턴 방법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $β$-노름 정규화가 마크owitz 모델의 비정규화된 성능과 유사한 위험과 수익을 달성하면서도 원하는 수준의 희소성을 갖춘 포트폴리오를 생성할 수 있는가?
• RQ2 KKT 점의 희소성은 투영된 샤프 지표와 같은 재무 성과 지표와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 희소성이 과적합을 직접 줄이는가, 아니면 다른 모델 파rameter를 통해 간접적으로 영향을 미치는가?
• RQ4 내부점 방법이 비볼록 $β$-노름 정규화 모델에 대해 고품질의 근사적인 2차 KKT 해를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 $Ø$-노름 또는 $Ø$-노름과 $β$-노름 정규화의 조합이 포트폴리오 성과와 과적합에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $β$-노름 정규화 모델은 카디널리티 제약이 있는 마크owitz 모델과 유사한 포트폴리오 분산과 수익률을 유지하면서도 원하는 수준의 희소성을 갖춘 포트폴리오를 생성한다.
• 희소성이 과적합을 직접 줄이는 데 기여하지는 않으며, 오히려 레버리지 및 정규화 구조의 선택을 통해 간접적으로 과적합을 완화시킨다.
• $Ø$-$\u03b2$ 모델은 적절한 레버리지 선택이 희소 포트폴리오에서 과적합을 크게 완화시킬 수 있음을 보여준다.
• $Ø$-$\u03b2$ 모델은 1/N 전략과 모든 $Ø$- 및 $Ø$-정규화 포트폴리오보다 검증된 성능에서 뛰어난 성과를 내는 포트폴리오를 생성한다.
• 내부점 알고리즘은 $O(\u03b5^{-3/2})$ 반복 내에 $ε$-스케일링된 2차 KKT 해를 계산하며, 고정 오차 허용 기준 하에 다항 시간 수렴을 보장한다.
• 이론적 분석을 통해 KKT 점의 희소성이 투영된 상관계수 및 투영된 샤프 지표와 연결되어 있음을 확인하였으며, 이는 정규화 효과에 재무적 의미를 제공한다.