[논문 리뷰] Sparse sum-of-squares certificates on finite abelian groups

Hamza Fawzi, James Saunderson외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 04.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 아벨 군 위의 비음수 함수가 푸리에 기저에서 희소한 경우, 희소한 제곱합(SOS) 증명을 갖는 조건을 조합론적으로 규명한다. 푸리에 지지집합과 관련된 카일리 그래프의 삼각형 커버를 구성함으로써, SOS 표현의 희소성에 대한 명시적 상한을 도출하며, 이는 $\mathbb{Z}_2^n$ 위의 모든 비음수 이차형식이 최대 $\lceil n/2 \rceil$ 차수의 함수의 제곱합임을 증명하고, $\mathbb{Z}_N$ 위의 차수 $d$ 비음수 함수가 최대 $3d\log(N/d)$개의 푸리에 계수를 갖는 SOS 증명을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

Let G be a finite abelian group. This paper is concerned with nonnegative functions on G that are sparse with respect to the Fourier basis. We establish combinatorial conditions on subsets S and T of Fourier basis elements under which nonnegative functions with Fourier support S are sums of squares of functions with Fourier support T. Our combinatorial condition involves constructing a chordal cover of a graph related to G and S (the Cayley graph Cay($\hat{G}$,S)) with maximal cliques related to T. Our result relies on two main ingredients: the decomposition of sparse positive semidefinite matrices with a chordal sparsity pattern, as well as a simple but key observation exploiting the structure of the Fourier basis elements of G. We apply our general result to two examples. First, in the case where $G = \mathbb{Z}_2^n$, by constructing a particular chordal cover of the half-cube graph, we prove that any nonnegative quadratic form in n binary variables is a sum of squares of functions of degree at most $\lceil n/2 ceil$, establishing a conjecture of Laurent. Second, we consider nonnegative functions of degree d on $\mathbb{Z}_N$ (when d divides N). By constructing a particular chordal cover of the d'th power of the N-cycle, we prove that any such function is a sum of squares of functions with at most $3d\log(N/d)$ nonzero Fourier coefficients. Dually this shows that a certain cyclic polytope in $\mathbb{R}^{2d}$ with N vertices can be expressed as a projection of a section of the cone of psd matrices of size $3d\log(N/d)$. Putting $N=d^2$ gives a family of polytopes $P_d \subset \mathbb{R}^{2d}$ with LP extension complexity $ ext{xc}_{LP}(P_d) = Ω(d^2)$ and SDP extension complexity $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = O(d\log(d))$. To the best of our knowledge, this is the first explicit family of polytopes in increasing dimensions where $ ext{xc}_{PSD}(P_d) = o( ext{xc}_{LP}(P_d))$.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 기저에서 희소한 비음수 함수가 또한 희소한 제곱합(SOS) 증명을 갖는 조건을 규명하는 것.
• 모든 비음수 함수가 푸리에 지지집합 $\mathcal{S}$를 갖는 경우, 그가 푸리에 지지집합 $\mathcal{T}$를 갖는 함수들의 제곱합임을 보장하는 조합론적 조건 $\mathcal{S}$와 $\mathcal{T}$를 규명하는 것.
• 일반적 프레임워크를 $\mathbb{Z}_2^n$ 및 $\mathbb{Z}_N$과 같은 특정 군에 적용하여 SOS 증명에 대한 명시적 희소성 상한을 도출하는 것.
• 명시적인 다면체 가족을 구성하여 선형계획법(LP) 확장복잡도가 초선형이고, 정수기반프로그래밍(SDP) 확장복잡도가 하위제곱형인 경우를 보여주며, 두 복잡도 사이의 분리 효과를 입증하는 것.
• $\mathbb{Z}_2^n$ 위의 비음수 이차형식에 대한 SOS 증명의 차수에 대한 로렌스의 추측을 해결하는 것.

제안 방법

• 이중군 $\widehat{G}$와 푸리에 지지집합 $\mathcal{S}$로부터 카일리 그래프 $\operatorname{Cay}(\widehat{G}, \mathcal{S})$를 구성하며, 이는 $\mathcal{S}$의 원소의 차이가 나는 문자를 연결하는 간선을 포함한다.
• 카일리 그래프 $\operatorname{Cay}(\widehat{G}, \mathcal{S})$의 삼각형 커버 $\Gamma$를 구축하며, 각 최대 클리크는 $\widehat{G}$의 부분집합 $\mathcal{C}$에 대응한다.
• 각 최대 클리크 $\mathcal{C}$에 대해 $\chi_{\mathcal{C}} \in \widehat{G}$를 대표원으로 선택하고, 이에 의해 변환된 집합 $\chi_{\mathcal{C}}\mathcal{C}$를 정의하며, 이로써 집합 $\mathcal{T}(\Gamma, \{\chi_{\mathcal{C}}\})$를 구성한다.
• 삼각형 희소 패턴을 갖는 희소한 양의 정부호 행렬의 분해를 이용하여, 푸리에 지지집합 $\mathcal{S}$를 갖는 모든 비음수 함수가 $\mathcal{T}$에 지지되는 SOS 표현을 갖는다는 것을 보장한다.
• 푸리에 기저에서의 문자의 대수적 구조를 활용하여 그래프 이론적 삼각형 커버와 대수적 SOS 분해 사이의 관계를 규명한다.
• 일반 결과를 두 가지 주요 케이스에 적용한다: $G = \mathbb{Z}_2^n$의 경우 반복적 삼각형 분할을 통한 반입방형 그래프의 트라이앵귤레이션, $G = \mathbb{Z}_N$의 경우 $N$-사이클 그래프의 $d$제곱의 트라이앵귤레이션.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중군 $\widehat{G}$의 부분집합 $\mathcal{S}$와 $\mathcal{T}$에 대해 어떤 조합론적 조건이 성립할 경우, 푸리에 지지집합 $\mathcal{S}$를 갖는 모든 비음수 함수가 푸리에 지지집합 $\mathcal{T}$를 갖는 함수들의 제곱합이 되는가?
• RQ2 $\mathbb{Z}_2^n$ 위의 비음수 이차형식에 대한 SOS 증명의 차수는 유계가 되는가? 만약 그렇다면, 필요한 최소 차수는 무엇인가?
• RQ3 $\mathbb{Z}_N$ 위의 차수 $d$ 비음수 함수에 대해, SOS 증명에 필요한 최소 푸리에 계수의 수는 얼마인가?
• RQ4 카일리 그래프의 삼각형 커버 구성이 특정 다면체의 확장복잡도에 대한 명시적 상한을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ5 선형계획법(LP) 확장복잡도보다 정수기반프로그래밍(SDP) 확장복잡도가 점점 더 작아지는 다면체의 가족이 존재하는가?

주요 결과

• $\mathbb{Z}_2^n$ 위의 모든 비음수 이차형식은 최대 $\lceil n/2 \rceil$ 차수의 함수의 제곱합으로 표현 가능하며, 이는 로렌스의 추측을 확인한다.
• $\mathbb{Z}_N$ 위의 차수 $d$ 비음수 함수(여기서 $d$가 $N$을 나눈다면)에 대해, 이러한 함수가 최대 $3d\log(N/d)$개의 비영 푸리에 계수를 갖는 SOS 증명을 가짐을 증명한다.
• 이 구성은 $\mathbb{R}^{2d}$ 내에 $N$개의 정점을 갖는 순환다면체가 정수기반프로그래밍(SDP) 확장복잡도 $O(d\log(N/d))$를 갖는다는 것을 암시한다.
• $N = d^2$일 경우, 해당 다면체는 선형계획법(LP) 확장복잡도 $\Omega(d^2)$와 정수기반프로그래밍(SDP) 확장복잡도 $O(d\log d)$를 갖으며, 이는 $\operatorname{xc}_{\text{PSD}}(P_d) = o(\operatorname{xc}_{\text{LP}}(P_d))$를 증명한다.
• 이로써 차원이 증가하는 다면체의 첫 번째 명시적 가족이 얻어지며, 여기서 SDP 확장복잡도는 LP 확장복잡도보다 점점 더 작아진다.
• 이진 또는 삼진 전개 기반 주파수를 사용한 $N$-사이클 그래프의 트라이앵귤레이션은 $N$에 대해 로그 비례하는 희소성의 삼각형 커버 가족을 생성한다.