[논문 리뷰] Sparsest Cut on Bounded Treewidth Graphs: Algorithms and Hardness Results

Anupam Gupta, Kunal Talwar외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 32인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유계 트리너비를 가진 그래프에서 비균일 스퍼스티 테일러 컷에 대한 2-근사 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 $k$가 트리너비일 때 시간 복잡도 $n^{O(k)}$ 내에서 작동하며, 표준 LP 리팩토링의 $O(kackepsilon n)$ 라운드 샤레리-애덤스 리프팅에서 부분 집합의 제약 조건을 사용하고, 그 후로 전파 라운딩 절차를 적용한다. 이 접근 방식은 비록 다항 라운드의 샤레리-애덤스를 거쳐도 2배 이내로 개선될 수 없음을 보이며, 이는 시리즈-패러럴 그래프(트리너비 2)에서의 정수화 갭이 $2 - \varepsilon$이기 때문이다.

ABSTRACT

We give a 2-approximation algorithm for Non-Uniform Sparsest Cut that runs in time $n^{O(k)}$, where $k$ is the treewidth of the graph. This improves on the previous $2^{2^k}$-approximation in time $\poly(n) 2^{O(k)}$ due to Chlamtáč et al. To complement this algorithm, we show the following hardness results: If the Non-Uniform Sparsest Cut problem has a $ρ$-approximation for series-parallel graphs (where $ρ\geq 1$), then the Max Cut problem has an algorithm with approximation factor arbitrarily close to $1/ρ$. Hence, even for such restricted graphs (which have treewidth 2), the Sparsest Cut problem is NP-hard to approximate better than $17/16 - ε$ for $ε> 0$; assuming the Unique Games Conjecture the hardness becomes $1/α_{GW} - ε$. For graphs with large (but constant) treewidth, we show a hardness result of $2 - ε$ assuming the Unique Games Conjecture. Our algorithm rounds a linear program based on (a subset of) the Sherali-Adams lift of the standard Sparsest Cut LP. We show that even for treewidth-2 graphs, the LP has an integrality gap close to 2 even after polynomially many rounds of Sherali-Adams. Hence our approach cannot be improved even on such restricted graphs without using a stronger relaxation.

연구 동기 및 목표

• 유계 트리너비를 가진 그래프에서 비균일 스퍼스티 테일러 컷에 대해 $n$에 다항식 시간 내에 정수 상수 요소 근사 알고리즘을 개발한다.
• Chlamtac 등 [CKR10]이 이전에 제시한 시간 복잡도 $\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$ 내에서 $2^{2^k}$-근사 알고리즘을 개선한다.
• 스퍼스티 테일러 컷에 대한 샤레리-애덤스 계층의 한계를 조사하기 위해 정수화 갭 하한을 설정한다.
• MaxCut에서의 감소를 통해, 특히 시리즈-패러럴 그래프(트리너비 2)와 같은 제한된 그래프 클래스에 대해 스퍼스티 테일러 컷의 난이도 결과를 수립한다.
• 고정된 트리너비를 가진 그래프에서 스퍼스티 테일러 컷과 MaxCut 간의 관계를 유니크 게임 추측을 기반으로 탐색한다.

제안 방법

• 비균일 스퍼스티 테일러 컷 문제에 대해 $O(k\log n)$-라운드 샤레리-애덤스 리프팅된 LP 리팩토링의 부분 집합 제약 조건을 사용하는 2-근사 알고리즘을 설계한다.
• 유계 트리너비 그래프의 나무 유사한 구조를 활용하여 분수형 LP 해를 유효한 컷으로 변환하기 위해 전파 라운딩 절차를 사용한다.
• 정수화 갭 하한을 스퍼스티 테일러 컷으로 이전하기 위해 MaxCut 인스턴스에서 스퍼스티 테일러 컷 인스턴스로의 감소를 구성한다.
• 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해, $n^{\delta}$라운드 이후에도 시리즈-패러럴 그래프(트리너비 2)에서 샤레리-애덤스 리프팅이 여전히 정수화 갭 $2 - \varepsilon$을 가지며, 이는 계층의 본질적 한계를 보여준다.
• 기존의 MaxCut에 대한 샤레리-애덤스 계층에서의 정수화 갭 결과를 활용하여, 정리 6.4를 통해 스퍼스티 테일러 컷에 대한 해당 갭을 유도한다.
• 유니크 게임 추측을 활용하여 강력한 근사 난이도 결과를 도출하며, 트리너비-2 그래프에서 스퍼스티 테일러 컷이 $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon$ 이하로는 근사가 불가능하다는 것을 보이며, 더 큰 고정된 트리너비 그래프에서는 $2 - \varepsilon$ 이하로는 근사가 불가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 트리너비를 가진 그래프에서 $n$에 다항식 시간 내에 $k$에 독립적인 $n$에 다항식 시간 내에 비균일 스퍼스티 테일러 컷에 대한 정수 상수 요소 근사 알고리즘이 가능할 수 있는가?
• RQ2 스퍼스티 테일러 컷에 대해 샤레리-애덤스 계층이 유계 트리너비 그래프에서 달성할 수 있는 최선의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 스퍼스티 테일러 컷에 대해 다항 라운드 이후 시리즈-패러럴 그래프(트리너비 2)에서 샤레리-애덤스 리프팅의 정수화 갭은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 스퍼스티 테일러 컷 문제의 난이도가 유계 트리너비 그래프에서 MaxCut과 얼마나 유사한가? 이 관계를 활용하여 강력한 난이도 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 유니크 게임 추측은 고정된 트리너비를 가진 그래프에서 스퍼스티 테일러 컷에 대해 초수학적 난이도 근사 결과를 암시하는가?

주요 결과

• 논문은 트리너비 $k$를 가진 그래프에서 비균일 스퍼스티 테일러 컷에 대해 $2$-근사 알고리즘을 제시하며, 시간 복잡도는 $n^{O(k)}$이다. 이는 이전의 $2^{2^k}$-근사 알고리즘($\operatorname{poly}(n)2^{O(k)}$ 시간 내)보다 향상된 결과이다.
• 이 알고리즘은 표준 스퍼스티 테일러 컷 LP의 $O(k\log n)$-라운드 샤레리-애덤스 리프팅에서 부분 집합의 제약 조건을 사용하고, 그 후 전파 라운딩 절차를 적용한다.
• 시리즈-패러럴 그래프(트리너비 2)의 경우, $n^{\delta}$라운드 이후에도 샤레리-애덤스 리프팅이 여전히 정수화 갭 $2 - \varepsilon$을 가지며, 이는 더 강력한 리프팅 없이 이 접근 방식을 개선할 수 없음을 보여준다.
• 비균일 스퍼스티 테일러 컷이 시리즈-패러럴 그래프에서 $\rho$-근사 가능하다면, MaxCut도 $1/\rho$에 가까운 근사 비율을 가지는 알고리즘이 존재하므로, 트리너비-2 그래프에서 스퍼스티 테일러 컷은 $17/16 - \varepsilon$ 이하로는 근사가 불가능하다는 것을 의미한다.
• 유니크 게임 추측을 가정할 경우, 시리즈-패러럴 그래프에서 스퍼스티 테일러 컷의 난이도 근사 결과는 $1/\alpha_{\text{GW}} - \varepsilon \approx 1.14$이다 (왜냐하면 $\alpha_{\text{GW}} \approx 0.878$ 이기 때문이다). 더 큰 고정된 트리너비 그래프에서는 난이도 근사 결과가 $2 - \varepsilon$이다.
• 일부 $\gamma > 0$에 대해 $n^{\gamma}$라운드 이후에도 샤레리-애덤스 계층에 대해 $2 - \varepsilon$의 정수화 갭이 유지되며, 이는 이 계층이 이러한 그래프에서 2보다 나은 근사 비율을 달성할 수 없다는 것을 보여준다.