[논문 리뷰] Sparsity of postcritically finite maps of $\mathbb{P}^k$ and beyond: A complex analytic approach

Thomas Gauthier, Johan Taflin외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소해석적 접근을 통해 동역학적 높이, 분기 미세측도, 등분포 이론을 융합하여, $k \geq 2$인 $\mathbb{P}^k$의 차수-$d$ 자기사상의 공간 내에서 후기적으로 유한한(PCF) 사상들이 아핀으로 조밀하지 않음을 증명한다. 또한, $\mathbb{A}^2$ 내 정칙 다항 자기사상의 조밀한 아핀 열린 부분집합에 대해 임의의 임계집합 내 선형적 반복점의 수에 대한 균일한 상계를 수립하며, 이는 산술동역학과 실동역학 기법을 활용한다.

ABSTRACT

An endomorphism $f:\mathbb{P}^k o\mathbb{P}^k$ of degree $d\geq2$ is said to be postcritically finite (or PCF) if its critical set $\mathrm{Crit}(f)$ is preperiodic, i.e. if there are integers $m>n\geq0$ such that $f^m(\mathrm{Crit}(f))\subseteq f^n(\mathrm{Crit}(f))$. When $k\geq2$, it was conjectured by Ingram, Ramadas and Silverman that, in the space $\mathrm{End}_d^k$ of all endomorphisms of degree $d$ of $\mathbb{P}^k$, such endomorphisms are not Zariski dense. We prove this conjecture. Further, in the space $\mathrm{Poly}_d^2$ of all regular polynomial endomorphisms of degree $d\geq2$ of the affine plane $\mathbb{A}^2$, we construct a dense and Zariski open subset where we have a uniform bound on the number of preperiodic points lying in the critical set. The proofs are a combination of the theory of heights in arithmetic dynamics and methods from real dynamics to produce open subsets with maximal bifurcation.

연구 동기 및 목표

• 차수-$d$의 $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$)에서의 후기적으로 유한한(PCF) 자기사상이 모듈리 공간 $\mathscr{M}_d^k$ 내에서 아핀으로 조밀하지 않다는 복소동역학의 추측을 해결하는 것.
• $\mathbb{A}^2$ 내 정칙 다항 자기사상의 아핀 열린 부분집합에 대해 임계집합 내 선형적 반복점의 수에 대한 균일한 상계를 수립하는 것.
• 분기 측도를 통한 동역학적 안정성과 산술동역학적 높이 사이의 연관성을, 높이 부등식과 등분포 정리들을 활용하여 연결하는 것.
• 모듈리이론적 및 분석적 기법을 사용하여 산술동역학에서의 균일한 상계 결과를 고차원 동역학계로 확장하는 것.

제안 방법

• 자기사상 가중가운데서 임계집합에 대해 산술-동역학 복잡도를 측정하기 위해 부분다양체 위의 표준높이를 사용하는 것.
• 동역학적 높이 이론과 DSH 함수 이론을 적용하여 표준높이를 분기 미세측도 및 불안정성 측도와 연결하는 것.
• 실동역학 기법과 블렌더를 활용하여 $\mathrm{End}_d^k$ 내에서 분기 측도의 지지집합이 내부를 가지는 아핀 열린 부분집합을 구성하는 것.
• 표준측도에 대해 선형적 반복점의 등분포 결과를 활용하여 임계집합 내 이러한 점들의 수를 통제하는 것.
• 자기사상의 모듈리 공간 설정으로 문제를 환원하기 위해 $\mathscr{M}_d^k$ 및 $\mathscr{P}_d^2$ 위의 보편가운데를 활용하며, 높이의 자기동형변환 불변성을 이용하는 것.
• DeMarco-Krieger-Ye 및 Dimitrov-Gao-Habegger의 영감을 얻어 산술동역학의 균일한 상계를 활용하여, 높이 제약 조건 하에서 임계집합 내 유한성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수-$d$의 $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$)에서의 후기적으로 유한한 자기사상은 모듈리 공간 $\mathscr{M}_d^k$ 내에서 아핀으로 조밀한가?
• RQ2 $\mathbb{A}^2$ 내 정칙 다항 자기사상의 임계집합 내 선형적 반복점의 수에 대해 균일한 상계를 확립할 수 있는가?
• RQ3 $\mathbb{A}^2$ 내 정칙 다항 자기사상의 모듈리 공간에서 분기 측도의 지지집합은 내부를 가지는가?
• RQ4 임계집합의 표준높이가 어떻게 임계집합 내 유리선형적 반복점의 수를 통제하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 자기사상과 그 주기점의 다중수의 대응이 유한대일대일이 아닌 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 차수-$d$의 $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$)에서의 후기적으로 유한한 자기사상은 $\mathscr{M}_d^k$ 내에서 아핀으로 조밀하지 않으며, 문헌 내 추측을 확인한다.
• 임의의 $d$에 대해 $U \subset \mathrm{Poly}_d^2$인 비공집합 아핀 열린 부분집합이 존재하여, 모든 $f \in U(\bar{\mathbb{Q}})$에 대해 임계집합 내 $\bar{\mathbb{Q}}$-유리선형적 반복점의 수는 오직 $d$에만 의존하는 상수 $B(d)$로 유계이다.
• 모든 $f \in U(\mathbb{C})$에 대해 임계집합 내 복소선형적 반복점의 수는 기저 다항식 $p$와 차수 $d$에 의존하는 상수 $B(p,d)$로 유계이다.
• 분기 측도의 지지집합은 $\mathscr{M}_d^k$ 및 $\mathscr{P}_d^2$ 양쪽 모두에서 내부를 가지며, 이는 이러한 가중가운데에서 최대 불안정성을 의미한다.
• $\mathscr{P}_d^2$ 내 정칙 다항 자기사상과 그 주기점의 다중수 사이의 대응은 아핀 닫힌 집합 외부에서는 유한대일대일이다.
• 모든 $\mathrm{Sk}(p,d)$의 아핀 열린 부분집합 내에서 $\varepsilon(p,d) > 0$ 및 $B(p,d) \geq 1$인 균일한 상계 $\varepsilon(p,d)$와 $B(p,d)$가 존재하여, $\#\{z \in C_f(\bar{\mathbb{Q}}) : \widehat{h}_f(z) \leq \varepsilon(p,d)\} \leq B(p,d)$를 만족한다.