[논문 리뷰] Spatial Models with the Integrated Nested Laplace Approximation within Markov Chain Monte Carlo

Virgilio Gómez‐Rubio, Francisco Palmí‐Perales|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 13.

Soil Geostatistics and Mapping참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 R-INLA에서 네이티브로 지원되지 않는 복잡한 다중 공간 구조를 가진 공간 모델에 대해 통합 중첩 라플라스 근사(INLA)를 메트로폴리스-해스팅스 알고리즘에 통합하여 다변량 사후 추론을 가능하게 한다. MCMC를 통해 핵심 매개변수를 샘플링하면서 INLA를 활용해 조건부 사후분포를 효율적으로 계산함으로써, 공간 경제학 및 질병 맵핑 모델에서 빠르고 정확한 공동 사후 추정을 달성한다. 이는 다중 공간 구조를 가진 모델에 대해 전면 MCMC 결과와 강한 일치를 보여준다.

ABSTRACT

The Integrated Nested Laplace Approximation (INLA) is a convenient way to obtain approximations to the posterior marginals for parameters in Bayesian hierarchical models when the latent effects can be expressed as a Gaussian Markov Random Field (GMRF). In addition, its implementation in the R-INLA package for the R statistical software provides an easy way to fit models using INLA in practice. R-INLA implements a number of widely used latent models, including several spatial models. In addition, R-INLA can fit models in a fraction of the time than other computer intensive methods (e.g. Markov Chain Monte Carlo) take to fit the same model. Although INLA provides a fast approximation to the marginals of the model parameters, it is difficult to use it with models not implemented in R-INLA. It is also difficult to make multivariate posterior inference on the parameters of the model as INLA focuses on the posterior marginals and not the joint posterior distribution. In this paper we describe how to use INLA within the Metropolis-Hastings algorithm to fit spatial models and estimate the joint posterior distribution of a reduced number of parameters. We will illustrate the benefits of this new method with two examples on spatial econometrics and disease mapping where complex spatial models with several spatial structures need to be fitted.

연구 동기 및 목표

• R-INLA가 구현하지 않은 복잡한 다중 공간 성분을 가진 공간 모델을 처리하는 데서 발생하는 제약를 해결하기 위해.
• INLA와 MCMC를 융합하여 공간 가중치 및 질병별 영향과 같은 핵심 매개변수에 대한 다변량 사후 추론을 가능하게 하기 위해.
• 전체 MCMC에 비해 계산 부담을 줄이기 위해, 조건부 사후분포에 대해 INLA의 빠른 계산 능력을 활용하면서도, 샘플링 대상 매개변수의 소수에 집중하기 위해.
• 공동 및 특정 공간 효과를 가진 실제 공간 모델에 대해 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.
• 복잡한 의존성 구조를 가진 대규모 공간 데이터셋에 대해 전면 MCMC의 실용적이고 확장 가능한 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 공간 모델에서 핵심 매개변수(예: 공간 가중치, 정밀도 매개변수 등)의 공동 사후분포에서 샘플링하기 위해 메트로폴리스-해스팅스 알고리즘을 사용한다.
• 각 MCMC 반복 단계에서 샘플링된 매개변수의 현재 값에 조건부로 설정하고, 나머지 모든 모델 매개변수의 조건부 사후분포를 계산하기 위해 INLA를 활용한다.
• большин의 공간 잠재 효과를 구성하는 가우시안 마르코프 무작위 필드(GMRF)의 사후 모수를 효율적으로 계산하기 위해 R-INLA의 능력을 활용한다.
• MCMC 반복 단계 동안 조건부 사후분포 모수를 평균 내어 비샘플링된 매개변수의 마진별 분포를 추정하기 위해 베이지안 모델 평균화를 적용한다.
• 공동 및 특정 공간 효과를 가진 모델, 예를 들어 다중 암에 대한 내재적 CAR 모델 또는 다중 공간 의존성 구조를 가진 공간 경제학 모델에 적용한다.
• 샘플링하는 매개변수의 수를 줄여 수렴성과 혼합 성능을 확보하면서, INLA를 통해 빠르고 정확한 조건부 사후 근사치를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R-INLA가 직접 지원하지 않는 공간 모델에 대해 INLA를 MCMC와 효과적으로 융합하여 공동 사후 추론을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 복잡한 공간 모델에서 INLA를 MCMC 내부에 통합한 방법의 정확도 및 계산 효율성은 전면 MCMC에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 이 하이브리드 접근법이 공간 가중치나 질병별 영향 간 상관관계와 같은 다변량 의존성을 얼마나 잘 포착할 수 있는가?
• RQ4 공동 및 특정 공간 패턴을 가진 다중 공간 성분을 포함한 실제 공간 데이터에 이 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ5 샘플링 대상 매개변수의 수가 적지만 모델의 구조는 복잡한 경우, 이 방법이 사후 마진 분포와 공동 분포 추정에서 정확성을 유지하는가?

주요 결과

• INLA를 MCMC 내부에 통합한 방법은 도표 5에서 밀도 추정치가 겹치는 것으로 나타나, 전면 MCMC 결과와 강한 일치를 보인 핵심 매개변수의 사후 마진 분포를 생성하였다.
• 이 방법은 질병별 가중치(δ^(1), δ^(2), δ^(3))의 공동 사후분포를 성공적으로 추정하여, 기존 INLA로는 불가능한 다변량 추론을 가능하게 하였다.
• δ^(1)과 δ^(2) 사이에 강한 양의 상관관계가 관찰되었으며, 이는 입/구강/부비동암과 식도암의 유사한 공간 패턴을 모델이 성공적으로 반영한 결과였다.
• 도표 6에서 보듯이, MCMC 반복 단계 동안 조건부 사후분포를 평균 내어 질병별 절편 및 정밀도 매개변수의 마진 분포를 정확하게 추정하였다.
• 각 반복에서 업데이트할 매개변수의 수를 최소화함으로써 MCMC 계산 비용을 크게 감소시켰으며, 동시에 INLA 기반 조건부 업데이트를 통해 고정밀도를 유지하였다.
• 공동 및 특정 공간 효과를 가진 복잡한 공간 모델, 예를 들어 다중 암에 대한 공동 질병 맵핑 또는 다중 공간 의존성 구조를 가진 공간 경제학 모델에 대해 이 방법이 효과적임을 입증하였다.