[논문 리뷰] Spatial Populations with seed-bank: renormalisation on the hierarchical group

Andreas Greven, Frank den Hollander외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 06.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 계층적 군 ΩN 위에서 종자고리가 있는 공간적 인구 모델을 연구한다. 개체군은 계층적 커널을 통해 식별지 사이를 이동하며, 색상에 따라 재활성화 속도가 달라지는 수면 상태에 들어간다. 다중 척도 재규격화를 통해, 대규모 N 한계에서 블록 평균 동역학이 항상 피셔-라이트 확산으로 수렴함을 보이며, 종자고리의 존재로 인해 종자고리가 없는 경우보다 클러스터 성장 속도가 느려진다.

ABSTRACT

We consider a system of interacting diffusions labeled by a geographic space that is given by the hierarchical group $Ω_N$ of order $N\in\mathbb{N}$. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. The migration kernel has a hierarchical structure: individuals hop between colonies at a rate that depends on the hierarchical distance between the colonies. The seed-bank has a layered structure: when individuals become dormant they acquire a colour that determines the rate at which they become active again. The latter allows us to model seed-banks whose wake-up times have a fat tail. We analyse a system of coupled stochastic differential equations that describes the population in the large-colony-size limit. For fixed $N\in\mathbb{N}$, the system exhibits a dichotomy between coexistence and clustering. We identify the range of parameters controlling the migration and the seed-bank for which clustering prevails. We carry out a multi-scale renormalisation analysis in the hierarchical mean-field limit $N o\infty$. We show that block averages on hierarchical space-time scale $k \in \mathbb{N}$ perform a diffusion with a renormalised diffusion function that depends on $k$. In the clustering regime, after an appropriate scaling with $k$, this diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion function as $k o\infty$, irrespective of the diffusion function controlling the resampling. For several subclasses of parameters we identify the speed at which the scaled renormalised diffusion function converges to the Fisher-Wright diffusion as $k o\infty$. We show that the seed-bank reduces the speed compared to the model without seed-bank.

연구 동기 및 목표

• . 계층적 종자고리가 있는 공간적 인구 모델에서의 클러스터링 영역을 분석한다.
• . 시스템이 단일형 균형(클러스터링)인지 다중형 균형(공존)인지 결정하는 조건을 규명한다.
• . N → ∞ 일 때 계층적 평균장 한계에서의 다중 척도 재규격화 분석을 수행한다.
• . 스케일링 한계의 보편성을 확립하여, 재표본화 확산 함수에 관계없이 항상 피셔-라이트 확산으로 수렴함을 보인다.
• . 종자고리가 없는 모델과 비교해, 단일형 클러스터 성장 속도가 얼마나 감소하는지 정량화한다.

제안 방법

• . 계층적 군 ΩN 위에서 개체군 밀도에 대한 확률적 미분방정식의 결합계로 시스템을 모델링한다.
• . 식별지 간의 계층적 거리에 따라 달라지는 계층적 이동 커널을 사용한다.
• . 수면 상태에 있는 개체군은 색상에 따라 재활성화 속도가 결정되는 계층적 종자고리를 구현하여, 긴 尾尾 분포를 가진 깨어남 시간을 가능하게 한다.
• . 잘 정의된 문제와 균형 분석을 위해 유한계통 방법과 쌍대성 원리를 적용한다.
• . 계층적 공간-시간 척도 k ∈ ℕ 에서 블록 평균을 고려하여 다중 척도 재규격화 분석을 수행한다.
• . 척도 k에서 재규격화된 확산 함수가 k → ∞ 일 때 피셔-라이트 확산으로 수렴함을 보이며, 보편성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 어떤 매개변수 영역에서 시스템이 공존(다중형 균형)이 아닌 클러스터링(단일형 균형)을 보일까?
• RQ2 . 계층적 종자고리 구조는 대규모 동역학과 공간적 클러스터의 발생에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 . 계층적 평균장 한계 N → ∞ 에서의 블록 평균 과정의 스케일링 한계는 무엇인가?
• RQ4 . 재표본화 확산 함수에 관계없이, 시스템이 대규모 한계에서 항상 피셔-라이트 확산으로 수렴하는가?
• RQ5 . 종자고리의 존재는 공간과 시간에서 단일형 클러스터 성장 속도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• . 시스템은 공존과 클러스터링 사이의 이분법적 성격을 보이며, 이는 이동 및 종자고리 구조의 특정 매개변수 영역에서 클러스터링이 지배함을 의미한다.
• . [GHO20]에서 제시한 필수 및 충분조건 클러스터링 기준이 이산 위상이 있는 가산 아벨 군 전역에 보편적으로 적용됨을 입증한다.
• . 대규모 N 한계에서 계층적 척도 k에서 재규격화된 확산 함수가 k → ∞ 일 때 피셔-라이트 확산으로 수렴함을 보이며, 보편성의 완전한 증명을 확보한다.
• . 피셔-라이트 확산으로의 수렴 속도는 이동 및 종자고리 매개변수에 따라 달라지며, 이 속도가 단일형 클러스터 성장률을 결정한다.
• . 종자고리의 존재로 인해 이동과 수면 동역학 간의 미묘한 상호작용으로 인해, 종자고리가 없는 모델에 비해 클러스터 성장 속도가 감소한다.
• . 여러 매개변수 하위집합에 대해, 재규격화된 확산 함수가 피셔-라이트 형태로 수렴하는 정확한 수렴 속도를 규명하여 종자고리의 감속 효과를 정량화한다.