[논문 리뷰] Spatial populations with seed-bank: well-posedness, duality and equilibrium

Andreas Greven, Franciscus den Hollander외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 29.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산 아벨 군 위에서 상호작용하는 페어리-프라이어드 확산을 사용하여 씨앗고리가 있는 공간적 인구 집단을 연구하며, 각기 복잡도가 증가하는 잠자기 메커니즘을 가진 세 가지 모델을 도입한다. 잘 정의됨, 이중성, 평형 수렴성을 확립하며, 기상 시간의 평균이 무한대일 경우 조건에서도 씨앗고리가 유전적 다양성을 유지함으로써 공존을 가능하게 하여, 고전 모델을 초월한 새로운 보편성 클래스를 드러낸다.

ABSTRACT

We consider a system of interacting Fisher-Wright diffusions with seed-bank. Individuals live in colonies and are subject to resampling and migration as long as they are active. Each colony has a structured seed-bank into which individuals can retreat to become dormant, suspending their resampling and migration until they become active again. As geographic space labelling the colonies we consider a countable Abelian group $\mathbb{G}$ endowed with the discrete topology. The key example of interest is the Euclidean lattice $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. Our goal is to classify the long-time behaviour of the system in terms of the underlying model parameters. In particular, we want to understand in what way the seed-bank enhances genetic diversity. We introduce three models of increasing generality, namely, individuals become dormant: (1) in the seed-bank of their colony; (2) in the seed-bank of their colony while adopting a random colour that determines their wake-up time; (3) in the seed-bank of a random colony while adopting a random colour. The extension in (2) allows us to model wake-up times with fat tails while preserving the Markov property of the evolution. For each of the three models we show that the system converges to a unique equilibrium depending on a single density parameter that is determined by the initial state, and exhibits a dichotomy of coexistence (= locally multi-type equilibrium) versus clustering (= locally mono-type equilibrium) depending on the parameters controlling the migration and the seed-bank. The dichotomy between clustering and coexistence in model 1 is determined by migration only. In models (2) and (3), when the wake-up time has infinite mean, the dichotomy is determined by both the exchange with the seed-bank and migration. It turns out that the seed-bank affects the long-time behaviour both quantitatively and qualitatively.

연구 동기 및 목표

• 씨앗고리가 공간적 인구 집단의 장기적 유전적 다양성과 평형 행동에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 이주 및 잠자기 파라미터에 따라 상호작용하는 확산의 장기적 행동을 분류하는 것.
• 고전적 피셔-프라이어드 모델을 구조화된 씨앗고리, 랜덤한 군집의 잠자기 및 색상이 부여된 기상 시간을 포함하는 공간 설정으로 확장하는 것.
• 복잡한 잠자기 동역학을 가진 시스템에 대해 강한 해, 이중성, 쌍대 기법을 통해 수학적 엄밀성을 확립하는 것.
• 비판적 차원에서 기하학적 이동보다 씨앗고리 효과가 지배하는 새로운 보편성 클래스를 식별하는 것.

제안 방법

• 공간적 군집을 나타내기 위해 $\mathbb{G}$로 표기되는 가산 아벨 군 위에 모델을 구성하며, 주로 $\mathbb{Z}^d$를 사용한다.
• 세 가지 모델을 도입한다: (1) 자신의 군집에서의 잠자기, (2) 랜덤한 색상이 기상 시간을 결정하는 잠자기, (3) 랜덤한 군집에서의 잠자기 및 색상이 부여된 기상 시간.
• 대규모 군집 크기 근처에서 연속 확률 미분 방정식으로 시스템을 기술하며, 강한 해 존재성에 의해 잘 정의됨을 증명한다.
• 전진 과정과 이중적인 분열 시스템 간의 이중성을 확립하여 장기적 행동 분석을 가능하게 한다.
• 결합 기법을 사용하여, 두꺼운 尾 꼬리 분포를 가진 기상 시간이 존재하더라도 유일한 평형 수렴을 증명한다.
• 이중성을 통해 일반화된 확산 함수를 允許하여, 표준 피셔-프라이어드 경우를 초월한 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 씨앗고리를 포함함으로써, 이주가 있는 공간적 인구 모델에서 공존과 군집화 사이의 이분법이 어떻게 변화하는가?
• RQ2 기상 시간 분포의 꼬리 행동이 장기적 유전적 다양성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 고전적 모델(씨앗고리 없음)이 군집화를 보일 가능성이 있는, 비판적 또는 반복적인 이주 조건에서도 씨앗고리가 공존을 유도할 수 있는가?
• RQ4 이주와 씨앗고리 동역학 간의 상호작용이 다중 군집 시스템의 평형 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 어떤 조건에서 씨앗고리가 이주보다 장기적 행동을 지배하게 되는가?

주요 결과

• 모델 1에서, 군집화와 공존 사이의 이분법은 이주에 의해 결정되며, 반복적 이주일 경우 군집화가 발생하고, 비반복적 이주일 경우 공존이 이루어지며, 이는 씨앗고리가 없는 경우와 동일하다.
• 모델 2와 3에서, 기상 시간의 평균이 무한대일 경우, 고전 모델이 군집화를 보일 가능성이 있는 비판적 반복 이주 조건에서도 씨앗고리가 공존을 유도할 수 있다.
• 충분히 두꺼운 尾 꼬리 분포를 가진 평균이 무한대인 기상 시간 조건에서는 씨앗고리가 이분법을 결정하며, 이로 인해 이주 효과는 장기적 결과에 영향을 주지 않는다.
• 모델의 복잡성과 관계없이, 시스템은 초기 상태로부터 유도된 단일 밀도 파rameter에 의해 결정되는 유일한 평형으로 수렴한다.
• 이중성 및 결합 기법을 통해, 표준 피셔-프라이어드 형태를 초월한 일반적인 확산 함수 클래스로 결과를 확장할 수 있다.
• 씨앗고리의 추가로 비판적 차원에서 새로운 보편성 클래스가 도입되며, 특히 기상 시간이 무거운 꼬리 분포를 가질 경우 두드러진다.