[논문 리뷰] SPDEs with Polynomial Growth Coecients and Malliavin Calculus Method

Qi Zhang, Huaizhong Zhao|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 백터미널 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)를 통해 다항성장 계수를 가진 확률적 편미분방정식(SPDEs)의 약한 해에 대한 확률적 표현을 수립한다. 말레비안 미적분, 약한 수렴, 위너-소볼레프 컴팩트성에 기반하여, L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-값을 가진 BDSDE 해의 존재성과 유일성을 증명하고, 유한한 수명을 가진 BDSDE 해의 수렴이 무한으로 갈 때 SPDE의 정적 해의 존재성과 안정성과 연결한다.

ABSTRACT

In this paper we study the existence and uniqueness of theL 2p (R d ;R 1 ) L 2 (R d ;R d ) valued solutions of backward doubly stochastic dierential equations (BDSDEs) with polynomial growth coecients using weak convergence, equivalence of norm principle and Wiener- Sobolev compactness arguments. Then we establish a new probabilistic representation of the weak solutions of SPDEs with polynomial growth coecients through the solutions of the corresponding BDSDEs. This probabilistic representation is then used to prove the existence of stationary solutions of SPDEs on R d via innite horizon BDSDEs. The convergence of the solution of a nite horizon BDSDE, when its terminal time tends to innity, to the solution of the innite horizon BDSDE is shown to be equivalent to the convergence of the pull-back of the solution of corresponding SPDE to its stationary solution. This way we obtain the stability of the stationary solution naturally. i=1 i <1. The coecients f : R d R 1 3 (x;v)7! f(x;v)2 R 1 is a real-valued function of polynomial growth (p 2); g : R d R 1 3 (x;v)7! g(x;v)2

연구 동기 및 목표

• 다항성장 계수를 가진 백터미널 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)에 대해 L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-값을 가진 해의 존재성과 유일성을 수립하기.
• 해당 BDSDE의 해를 통해 다항성장 계수를 가진 SPDE의 약한 해에 대한 새로운 확률적 표현을 개발하기.
• 무한 수명을 가진 BDSDE 분석을 통해 R^d 위에서 SPDE의 정적 해 존재성을 증명하기.
• 유한 수명을 가진 BDSDE 해가 종료 시간이 무한으로 갈 때 수렴하는 것이 SPDE 해가 정적 해로 수렴하는 것과 동치임을 보여주기.
• 이 동치성에 기반해 SPDE의 정적 해의 안정성을 수립하기.

제안 방법

• 유한 수명을 가진 BDSDE 해의 극한 행동을 분석하기 위해 약한 수렴 기법을 활용하기.
• L²p 및 L² 공간에서 해의 성장률을 제어하기 위해 노름의 동치 원칙을 적용하기.
• 해 공간 내에서 수렴하는 부분수열을 추출하기 위해 위너-소볼레프 컴팩트성 추론을 사용하기.
• BDSDE 프레임워크 내에서 확률적 적분과 정규성을 다루기 위해 말레비안 미적분 기법을 활용하기.
• 해당 BDSDE의 해를 통해 SPDE의 약한 해에 대한 확률적 표현을 구축하기.
• 유한 수명을 가진 BDSDE 해의 수렴과 SPDE 해가 정적 상태로 수렴하는 것 사이의 동치성을 수립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 백터미널 이중 확률 미분 방정식(BDSDEs)이 다항성장 계수를 가질 때, L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-값을 가진 해를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 다항성장 계수를 가진 SPDE의 약한 해는 해당 BDSDE의 해를 통해 확률적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 무한 수명을 가진 BDSDE는 어떻게 R^d 위에서 SPDE의 정적 해 존재성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 유한 수명을 가진 BDSDE 해가 종료 시간이 무한으로 갈 때 수렴하는 것과 SPDE 해가 정적 해로 수렴하는 것이 동치인가?
• RQ5 유한 수명을 가진 BDSDE의 수렴을 통해 SPDE의 정적 해의 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 약한 수렴과 노름 동치 원리를 활용하여, 다항성장 계수를 가진 BDSDE에 대해 L²p(Rd;R¹) × L²(Rd;Rd)-값을 가진 해의 존재성과 유일성을 증명하였다.
• 해당 BDSDE의 해를 통해 다항성장 계수를 가진 SPDE의 약한 해에 대한 새로운 확률적 표현이 수립되었다.
• 무한 수명을 가진 BDSDE의 분석을 통해 R^d 위에서 SPDE의 정적 해 존재성이 증명되었다.
• 종료 시간이 무한으로 갈 때 유한 수명을 가진 BDSDE 해의 수렴이 SPDE 해가 정적 해로 수렴하는 것과 동치임을 보였다.
• 두 수렴 체계 간의 동치성은 SPDE의 정적 해의 자연스러운 안정성을 암시한다.
• 필요한 정규성과 수렴 성질을 보장하기 위해 말레비안 미적분과 위너-소볼레프 컴팩트성에 기반한 방법이 사용되었다.