[논문 리뷰] Special cycles and derivatives of Eisenstein series

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|2003. 08. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수열 쌍대성에 기반한 추측적 프레임워크를 제안하며, 직교 Shimura 다양체 위의 대수적 사이클, Eisenstein 급수의 도함수, 그리고 Rankin-Selberg L-함수의 특수값 사이의 연결 고리를 다룬다. theta 승화를 통해 Rallis 내적 공식의 기하적 실현을 확립하며, Siegel 모듈라 형식에서 유도된 코homology 클래스의 cup 곱이 Eisenstein 급수의 pullback으로부터 유도됨을 보여주고, 코homology 쌍대성과 L-값, 특수 사이클의 체적 사이의 핵심 식을 연결한다.

ABSTRACT

This article sketches relations among algebraic cycles for the Shimura varieties defined by arithmetic quotients of symmetric domains for O(n,2), theta functions, values and derivatives of Eisenstein series and values and derivatives of certain L-functions. In the geometric case, results of joint work with John Millson imply that the generating functions for the classes in cohomology of certain algebraic cycles of codimension r are Siegel modular forms of genus r and weight n/2+1. A result of Borcherds shows that, for r=1, the same is true for the generating function for the classes of such divisors in the Chow group. By the Siegel-Weil formula, the generating function for the volumes of codimension r cycles coincides with a value of a Siegel-Eisenstein series of genus r. In particular, this gives an interpretation of the Fourier coefficients of these Eisenstein series as volumes of algebraic cycles. The second part of the paper discusses the possible analogues of these results in the arithmetic case, where the special values of derivatives of Eisenstein series arise. In this case, the Fourier coefficients of such derivatives are should be the heights (arithmetic volumes) of certain cycles on integral models of the O(n,2) type Shimura varieties. Relations of this sort would yield relations between central derivatives of certain L-functions and height pairings. The case of curves on a Siegel 3-fold and of the central derivative of a triple product L-function are discussed.

연구 동기 및 목표

• 대수적 사이클, Eisenstein 급수 도함수, Rankin-Selberg L-함수의 특수값 사이의 광범위한 추측적 프레임워크를 수립하는 것.
• Shimura 다양체 위의 코homology 클래스에 대한 Rallis 내적 공식의 기하적 해석을 제공하는 것.
• Siegel 모듈라 형식과 관련된 코homology 클래스의 cup 곱이 Eisenstein 급수의 pullback으로 표현될 수 있는지 연결하는 것.
• theta 승화와 자동형식을 이용해 고계수 고전적 군에 대한 산술 내적 공식을 일반화하는 것.
• 특수 사이클과 L-함수의 코hom올로지적 실현을 통해 산술기하학과 자동형식 간의 다리를 놓는 것.

제안 방법

• 정수 벡터 x ∈ V(Q) 중 노름이 양수인 것들을 이용해 MK 내의 특수 사이클로서 부분-Shimura 다양체 Z(x) ⊂ MK 를 구성한다.
• Weil 표현과 theta 대응을 사용하여 H^{2r}(MK) 내의 코homology 클래스에 Siegel 모듈라 형식을 연결한다.
• 고전적 theta 승화를 적용하여 cusp 형식 f ∈ S(r)_{n/2+1} 에 대해 H^{2r}(MK) 내의 코homology 클래스 [θr(f,ϕ)] 를 정의하는 사상(사상)을 정의한다.
• G’_Q 의 작용과 메타플렉틱 쌍대를 사용하여 벡터 값 테타 함수의 변환 법칙을 도출함으로써 고전적 모듈라 변환 성질을 얻는다.
• Eisenstein 급수 E_{2n}(τ, s, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 를 포함하는 이중화 적분을 통해 두 코homology 클래스의 cup 곱을 계산한다.
• 코homology 클래스의 cup 곱을 H^{r₁} × H^{r₂} 에서 Eisenstein 급수의 pullback 으로 표현하는 추측적 항등식 (A.II.19) 를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직교 Shimura 다양체 위의 대수적 사이클은 Eisenstein 급수의 도함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 Shimura 다양체 위의 코homology 클래스에 대한 Rallis 내적 공식의 기하적 의미는 무엇인가?
• RQ3 Siegel 모듈라 형식에서 유도된 코homology 클래스의 cup 곱은 Eisenstein 급수의 pullback 으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 Rankin-Selberg L-함수의 특수값과 특수 사이클의 체적 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 theta 승화와 고전적 군 위의 자동형식은 추측적 산술 내적 공식을 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 코homology 클래스 [θr(f₁,ϕ₁)] 과 [θr(f₂,ϕ₂)] 의 cup 곱은 상수 B를 제외한, f₁⊗f̄₂ 와 Eisenstein 급수 E_{2n}(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 사이의 Petersson 내적에 의해 주어진다.
• f₁ 과 f₂ 가 동일한 cuspidal 자동형식 표현 π 를 갖는 경우, 쌍대성은 L(1, π) 와 f 의 Petersson 노름의 곱으로 나타나며, (A.II.17) 에서 확인된다.
• 항등식 (A.II.19) 는 코homology 클래스의 cup 곱을 H^{r₁} × H^{r₂} 에서 Eisenstein 급수 En(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) 의 pullback 으로 표현하며, 코homology 와 Eisenstein 급수 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 비등방성 V 인 경우, 표준 n-형식 Ω^n 에 대한 MK 의 체적은 vol(MK, Ω^n) · En(τ, 1/2, ϕ) = ∑_{T≥0} vol(Z(T,ϕ)) q^T 를 만족하며, (A.II.18) 에서 확인된다.
• 식 (A.II.14) 에서의 이중화 적분은 [51] 에서 알려진 결과를 통해 표준 L-함수로 축소되며, 핵심 인자로 L(1, π) 를 제공한다.
• 추측적 항등식 (6.10) 이 (A.II.19) 로 일반화되며, 코homology 클래스의 cup 곱이 Eisenstein 급수의 pullback 으로 실현됨을 보여준다.