[논문 리뷰] Special cycles on unitary Shimura varieties I. unramified local theory

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p$-분할군에 $O_K$-작용과 $p$-주기적 편평함을 갖는 형식적 모듈리 공간 위에서 특수 사이클을 구성함으로써, 유니터리 시무라 다양체에 대한 국소적 산술 코hen–런스트 히어스틱스를 수립한다. 이와 동시에 그 사이클의 교차 길이가 헤르미트 형식의 표현 밀도의 도함수와 일치함을 보여주며, 특히 준표준적 승화를 통한 0차원 특수 사이클의 길이에 대한 정확한 공식을 도출함으로써 국소 산술 기하학과 $L$-함수의 특수값을 연결한다.

ABSTRACT

The supersingular locus in the fiber at p of a Shimura variety attached to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q is uniformized by a formal scheme \Cal N. In the case when p is inert, we define special cycles Z(x) in \Cal N, associated to a collection x of m `special homomorphisms' with fundamental matrix T in Herm_m(OK). When m=n and T is nonsingular, we show that the cycle Z(x) is a union of components of the Ekedahl-Oort stratification, and we give a necessary and sufficient conditions, in terms of T, for Z(x) to be irreducible. When Z(x) is zero dimensional -- in which case it reduces to a single point -- we determine the length of the corresponding local ring by using a variant of the theory of quasi-canonical liftings. We show that this length coincides with the derivative of a representation density for hermitian forms.

연구 동기 및 목표

• 비분할 소수에서 유니터리 시무라 다양체 위의 특수 사이클에 대한 국소 이론을 개발하여, 전역 산술 기하학을 $p$-진 설정으로 확장한다.
• 차수 $n$, 높이 $2n$, $O_K$-작용의 서명 $(1,n-1)$과 $p$-주기적 편평함을 갖는 $p$-분할군을 매개변수화하는 형식적 모듈리 공간 $\mathcal{N}$에서 특수 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$를 정의한다.
• 국소 링의 길이를 계산하기 위해 준표준적 승화 이론의 변종을 적용한다.
• 이 길이가 $O_K$ 위에서 헤르미트 형식의 표현 밀도의 도함수와 일치함을 보인다.
• 에이젠스타인 급수의 도함수와 산술 교차 수를 연결하는 Kudla–Rapoport 추측의 국소 해석을 수립한다.

제안 방법

• 차수 $n$, 높이 $2n$, 서명 $(1,n-1)$의 $O_K$-작용과 $p$-주기적 편평함을 갖는 $p$-분할군을 매개변수화하는 형식적 모듈리 공간 $\mathcal{N}$을 구성한다.
• 기본 행렬 $T \in \operatorname{Herm}_m(O_K)$를 갖는 특수 호모모르피즘의 $m$-튜플에 관련된 특수 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$를 정의한다.
• Ekedahl-Oort 분할을 사용하여 $m=n$ 이면서 $T$가 비특이일 경우 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$의 구조를 분석하고, 이가 분할의 구성 요소들의 합집합임을 보인다.
• 특수 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$의 기약성에 대한 필요충분조건을 $p$-진 헤르미트 모듈러의 격자 이론적 조건을 통해 행렬 $T$의 언어로 기술한다.
• 준표준적 승화 이론의 변종을 적용하여 0차원 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$에서 국소 링의 길이를 계산한다.
• 특수 사이클의 길이와 일치하는 표현 밀도 도함수의 공식을 $p$-진 적분과 격자 지수를 통해 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니터리 시무라 다양체의 특수 사이클은 비분할 소수에서 $p$-진 국소 모델에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 모든 $m=n$ 이면서 $T$가 비특이일 경우 특수 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$의 구조는 어떠한가?
• RQ3 행렬 $T$에 대해 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$가 기약이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 0차원 특수 사이클에서 국소 링의 길이는 무엇이며, 이는 산술 $L$-함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특수 사이클의 국소 링 길이는 $p$-진 해석적 준표준적 승화의 해석으로 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $m=n$ 이면서 $T$가 비특이일 경우, 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$는 공집이거나 Ekedahl-Oort 분할의 구성 요소들의 합집합이다.
• 특수 사이클 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$가 기약이 되기 위한 필요충분조건은 행렬 $T$의 $p$-진 값매김과 관련된 헤르미트 모듈러의 구조에 의해 기술된다.
• 0차원 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$의 경우, 국소 링의 길이는 준표준적 승화를 통해 계산되며, 이는 $T$에 관련된 헤르미트 형식의 표현 밀도 도함수와 정확히 일치한다.
• 길이 공식은 지수 $|M:N_i \perp N_i^\perp|^{-n_2}$ 및 $|N_i^\vee : N_i|^{n_2}$를 포함하는 격자 분해의 합으로 표현되며, $\alpha_p(L,M)$은 $L_1$이 단위일 경우 $\alpha_p(L_1,M)\alpha_p(L_2,N^\perp)$로 분해된다.
• [17]의 보조정리 7.7.3의 증명이 완성되며, 이는 엔도모르피즘 $\varphi$의 변형 다양체가 준표준적 분할 $\mathcal{W}_s(\varphi)$의 합과 일치하고, 교차 중복도가 기대되는 $p$-진 합과 일致함을 보여준다.
• 특수 섹션에서 $\varphi$의 변형 다양체 길이가 비분할의 경우 $2\sum_{i=0}^{c-1} p^i + p^c$이고, 분할의 경우 $2\sum_{i=0}^c p^i$임을 보이며, Keating의 결과를 통해 공식이 확인된다.