[논문 리뷰] Special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds

Tristan C. Collins, Adam Jacob외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 76인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $X = Y \setminus D$에서 특수 라그랑주 부분다양체가 무수히 많이 서로 겹치지 않게 존재함을 증명한다. 여기서 $Y$는 델 페초 또는 유리 타원 곡면이고 $D$는 매끄러운 반자연적 분할이다. 톈-요우의 리치-평탄한 메트릭과 SYZ 미러 대칭을 이용하여, 경계 $D$가 특수 라그랑주를 가질 경우 $X$는 쌍둥이 특수 라그랑주 분할을 지닌다. 이는 스트로밍거-요우-자슬로프의 추측과 아우르크스의 추측을 복소 차원 2에서 확인한다.

ABSTRACT

We study the existence of special Lagrangian submanifolds of log Calabi-Yau manifolds equipped with the complete Ricci-flat Kähler metric constructed by Tian-Yau. We prove that if $X$ is a Tian-Yau manifold, and if the compact Calabi-Yau manifold at infinty admits a single special Lagrangian, then $X$ admits infinitely many disjoint special Lagrangians. In complex dimension $2$, we prove that if $Y$ is a del Pezzo surface, or a rational elliptic surface, and $D\in |-K_{Y}|$ is a smooth divisor with $D^2=d$, then $X= Y\backslash D$ admits a special Lagrangian torus fibration, as conjectured by Strominger-Yau-Zaslow and Auroux. In fact, we show that $X$ admits twin special Lagrangian fibrations, confirming a prediction of Leung-Yau. In the special case that $Y$ is a rational elliptic surface, or $Y= \mathbb{P}^2$ we identify the singular fibers for generic data, thereby confirming two conjectures of Auroux. Finally, we prove that after a hyper-Kähler rotation, $X$ can be compactified to the complement of a Kodaira type $I_{d}$ fiber appearing as a singular fiber in a rational elliptic surface $\checkπ: \check{Y} ightarrow \mathbb{P}^1$.

연구 동기 및 목표

• 로그 칼라비-야우 다양체 $X = Y \setminus D$에서 경계 $D$가 특수 라그랑주를 가질 경우, $X$에 무수히 많은 서로 겹치지 않는 특수 라그랑주 부분다양체가 존재함을 증명한다.
• 복소 차원 2에서 $X$에 대해 스트로밍거-요우-자슬로프의 특수 라그랑주 토러스 분할 추측을 검증한다.
• 유리 타원 곡면과 $\mathbb{P}^2$에 대해 아우르크스의 쌍둥이 특수 라그랑주 분할 존재 추측을 확인한다.
• 일반적인 자료에 대해 이러한 분할의 특이 섬유를 규명하여 아우르크스의 두 추가 추측을 검증한다.
• 허브-카이러 회전을 통해 $X$가 유리 타원 곡면에서 코다이라 유형 $I_d$ 섬유의 여수로 수축됨을 보여준다.

제안 방법

• 톈과 요우가 구축한 $X = Y \setminus D$ 위의 완전한 리치-평탄한 켈러 메트릭을 이용한다.
• SYZ 제안을 적용: $X$ 위의 특수 라그랑주 분할은 경계 $D$ 위의 $T$- dualit에 기인한다.
• 허브-카이러 회전을 통해 $X$를 특이한 $I_d$ 섬유를 가진 수축된 유리 타원 곡면과 연결한다.
• 경계 $D$에 특수 라그랑주가 존재함을 이용해, 위상적 곱 $S^1$을 통해 $X$ 내에서 무수히 많은 서로 겹치지 않는 특수 라그랑주를 생성한다.
• 비平坦 배경에서 평균 곡률 흐름의 스무딩 추정을 적용하여 기하학적 진화를 제어한다.
• 그로스-시버트 프로그램과 트로픽 기하학의 결과를 활용하여 로그 칼라비-야우 설정에서의 미러 대칭을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그 칼라비-야우 다양체 $X = Y \setminus D$의 경계 $D$에 특수 라그랑주가 하나 존재할 경우, 이는 $X$에 무수히 많은 서로 겹치지 않는 특수 라그랑주가 존재함을 의미하는가?
• RQ2 $Y$가 델 페초 또는 유리 타원 곡면이고 $D$가 매끄러운 반자연적 분할일 때, $X = Y \setminus D$는 특수 라그랑주 토러스 분할을 갖는가?
• RQ3 류와 요우의 예측에 따르면, $X$에는 쌍둥이 특수 라그랑주 분할이 존재하는가?
• RQ4 $Y = \mathbb{P}^2$ 또는 $Y$가 유리 타원 곡면일 경우, 분할의 특이 섬유는 무엇인가?
• RQ5 $X$는 허브-카이러 회전을 통해 유리 타원 곡면에서 코다이라 유형 $I_d$ 섬유의 여수로 수축될 수 있는가?

주요 결과

• 콤���트 칼라비-야우 다양체 $D$가 매끄럽고 임베딩된 특수 라그랑주를 가질 경우, $X = Y \setminus D$는 $L \times S^1$과 위상동형인 무수히 많은 서로 겹치지 않는 임베딩된 특수 라그랑주 부분다양체를 가진다.
• 만일 $Y$가 델 페초 곡면 또는 유리 타원 곡면이고 $D \in |-K_Y|$가 매끄럽고 $D^2 = d$일 경우, $X$는 특수 라그랑주 토러스 분할을 가지며, 이는 복소 차원 2에서 SYZ 추측을 확인한다.
• 다양체 $X$는 쌍둥이 특수 라그랑주 분할을 가지며, 류와 요우의 예측을 확인한다.
• 만일 $Y = \mathbb{P}^2$ 또는 유리 타원 곡면일 경우, 일반적인 자료에 대해 분할의 특이 섬유는 코다이라 유형 $I_d$로 규명되며, 아우르크스의 두 추측을 확인한다.
• 허브-카이러 회전을 거친 후, $X$는 유리 타원 곡면 $\check{Y} \to \mathbb{P}^1$에서 코다이라 유형 $I_d$ 섬유의 여수로 수축되며, 이는 미러의 기하학적 실현을 제공한다.