[논문 리뷰] Special Lagrangians and Lagrangian self-similar solutions in cones over toric Sasaki manifolds

Hikaru Yamamoto|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토릭 Sasaki 다양체 위의 Calabi–Yau 콘에서 특수 라그랑주 부분다양체와 라그랑주 자가유사 해를 명시적으로 구성한다. 토릭 기하학적 프레임워크와 8개의 다면체 영역 복사본 간 접합을 통해, 각각의 종수 $ g \geq 1 $ 에 대해 6차원 Calabi–Yau 콘 $ M_g $ 를 구성하며, 이 콘에는 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 와 위상동형인 3차원 특수 라그랑주 부분다양체와 $ \Sigma_g \times S^1 $ 와 위상동형인 컴팩트 라그랑주 자가수축기(subshrinker)를 포함한다.

ABSTRACT

We construct some examples of special Lagrangian submanifolds and Lagrangian self-similar solutions in almost Calabi-Yau cones over toric Sasaki manifolds. For example, for any integer g>0, we can construct a real 6 dimensional Calabi-Yau cone M_g and a 3 dimensional special Lagrangian submanifold L^1_g in M_g which is diffeomorphic to the product of a closed surface of genus g and the real line R, and a 3 dimensional compact Lagrangian self-shrinker L^2_g in M_g which is diffeomorphic to the product of the closed surface of genus g and a circle S^1.

연구 동기 및 목표

• 토릭 Sasaki 다양체 위의 거의 Calabi–Yau 콘에서 특수 라그랑주 부분다양체와 라그랑주 자가유사 해의 구성 문제를 다룬다.
• 복소수 $ \mathbb{C}^m $ 에서의 특수 라그랑주 부분다양체와 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^m $ 에서의 자가유사 해에 대한 기존 결과를 토릭 Calabi–Yau 콘의 맥락으로 확장한다.
• 비콤팩트 특수 라그랑주 부분다양체와 컴팩트 자가수축기 포함, 제어 가능한 위상구조를 갖는 명시적 기하학적 예제를 제공한다.
• 토릭 자료와 관련된 다면체 영역의 접합을 통해 이러한 해를 구성하는 방법을 수립한다.
• 평균 곡률 흐름과 자가유사 해가 라그랑주 기하학에서 특이점의 점근적 모델로서 수행하는 역할을 탐색한다.

제안 방법

• 토릭 Sasaki 다양체 $ S $ 위의 콘 구조 $ C(S) = S \times \mathbb{R}^+ $ 와 메트릭 $ \overline{g} = r^2 g + dr^2 $ 를 이용하여 자연스러운 $ \mathbb{R}^+ $-행동와 위치 벡터장 $ \overrightarrow{p} = r \frac{\partial}{\partial r} $ 를 정의한다.
• 자가유사 해는 평균 곡률 벡터 $ H $ 와 조건 $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $ 를 만족하는 것으로 정의되며, 여기서 $ \lambda \in \mathbb{R} $ 는 상수이다.
• 모멘트 맵과 토릭 자료를 이용해 토릭 켈러 콘에서 라그랑주 부분다양체를 구성하고, 캐논리컬 번들의 자명성 조건이 성립할 경우 특수 라그랑주 조건을 도입한다.
• 서로 다른 부호 트리플 $ (\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3) \in \{ \pm 1 \}^3 $ 으로 표시된 8개의 다면체 영역 $ \Delta_{\zeta,c} $ 복사본을, 토릭 다면체의 내부 법선 벡터에 해당하는 변들에 따라 접합하여, $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 와 $ \Sigma_g \times S^1 $ 의 위상적 성격을 모델링한다.
• 대수적 토릭 구조와 다면체 영역을 연결하기 위해 로그 변환 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ 를 적용하여, 다면체의 면에 수렴하는 곡선을 구성할 수 있도록 한다. 이는 해의 점근적 행동을 모델링한다.
• 접합된 부분다양체가 라그랑주임을 보이고, 라그랑주 위상의 영멸과 평균 곡률 조건을 만족함으로써 특수 라그랑주 또는 자가유사 조건을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 토릭 Sasaki 다양체 위의 Calabi–Yau 콘에서 특수 라그랑주 부분다양체를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 콘에서 특수 라그랑주 또는 자가유사 해로 나타나는 라그랑주 부분다양체의 위상적 유형은 무엇인가?
• RQ3 토릭 기하학을 이용해 고차원 Calabi–Yau 콘에서 컴팩트 라그랑주 자가수축기를 구성할 수 있는가?
• RQ4 여러 개의 다면체 영역 복사본의 접합이 콘에서 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 와 $ \Sigma_g \times S^1 $ 의 위상적 성격을 어떻게 모델링하는가?
• RQ5 위치 벡터와 $ \mathbb{R}^+ $-행동는 $ \mathbb{R}^m $ 이외의 맥락으로 자가유사 해를 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 정수 $ g \geq 1 $ 에 대해, 토릭 Sasaki 다양체 위의 6차원 Calabi–Yau 콘 $ M_g $ 가 구성된다.
• 종수 $ g $ 를 가진 닫힌 곡면 $ \Sigma_g $ 와 위상동형인 $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ 와 위상동형인 3차원 특수 라그랑주 부분다양체 $ F^1_g: L^1_g \to M_g $ 가 구성된다.
• 자기유사 조건 $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $ 를 만족하는 컴팩트 라그랑주 자가수축기 $ F^2_g: L^2_g \to M_g $ 가 구성되며, 이 경우 $ \lambda < 0 $ 이다.
• 이 구성은 토릭 다면체의 내부 법선에 해당하는 변들에 따라, 부호 트리플 $ (\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3) $ 으로 표시된 8개의 다면체 영역 $ \Delta_{\zeta,c} $ 복사본을 접합하는 데 의존한다.
• 접합된 $ \Delta_{\zeta,c} $-복사본을 통해 부분다양체의 위상이 확인되며, $ C(S)^\sigma_{\zeta,c} \cong \Sigma_g $ 임을 확인할 수 있다. 이는 $ g = 1 $ 과 $ g = 2 $ 에 대해 명시적인 다이어그램으로 검증된다.
• 로그 변환 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ 를 이용해 예제를 명시적으로 실현하였으며, 이는 $ \mathbb{R}^3 $ 의 곡선을 대수적 토릭 영역의 반직선으로 매핑하여 다면체의 면에 수렴하는 곡선을 구성함으로써 해의 점근적 행동을 모델링한다.