[논문 리뷰] Special metric structures and closed forms

Frederik Witt|ArXiv.org|2005. 02. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 51인용 수 43

한 줄 요약

이 학위논문은 $Spin(7,7)$ 또는 $Spin(8,8)$의 $G_2\times G_2$ 또는 $Spin(7)\times Spin(7)$로의 축소를 안정화하는 닫힌 짝수 또는 홀수 형식을 사용하여 다양체 위에 일반화된 $G_2$- 및 $Spin(7)$-구조를 도입한다. 이는 통합 가능성에 대한 변분 프레임워크를 수립하며, 통합 조건이 NS-NS 스트레인을 가진 IIA/B 초중력 이론의 초대칭 방정식과 동치임을 증명한다. 또한 T-duality를 통해 비자명한 컴act 예를 구성하며, 리치 텐서 제약 조건으로 인해 컴팩트 다양체에서는 오직 자명한 해만 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

The primary aim of this thesis is to investigate metrics which are induced by a differential form and arise as a critical point of Hitchin's variational principle. Firstly, we investigate metrics associated with the structure group PSU(3) acting in its adjoint representation. We derive various obstructions to the existence of a topological reduction to PSU(3). For compact manifolds, we also find sufficient conditions if the PSU(3)-structure lifts to an SU(3)-structure. We give a Riemannian characterisation of topological PSU(3)-structures through an invariant spinor valued 1-form and show that the PSU(3)-structure is integrable if and only if the spinor valued 1-form defines a co-closed Rarita-Schwinger field. Moreover, we construct non-symmetric (compact) examples. Secondly, we consider even or odd forms which can be naturally interpreted as spinors for a spin structure on $T\oplus T^*$. As such, the forms we consider induce a reduction from $Spin(7,7)$ to $G_2 imes G_2$. We give a topological classification of $G_2 imes G_2$-structures. We prove that the condition for being a critical point is equivalent to the supersymmetry equations on spinors in supergravity theory of type IIA/B with NS-NS background fields. Examples are systematically constructed by the device of T-duality.

연구 동기 및 목표

• 서명 $(n,n)$ 내적을 가진 $T \oplus T^*$ 위에서 닫힌 형식을 사용하여 $G_2$- 및 $Spin(7)$-구조를 일반화한다.
• 드레함 코hom로지의 임계점과 안정 형식을 통한 통합 가능한 구조에 대한 변분 원리를 수립한다.
• 스핀어 값 1-형식과 왜곡된 딜라크 연산자를 통한 통합성의 특성화.
• 수직 호모토피에 대해 $G_2\times G_2$-구조를 분류하고 비자명한 컴팩트 예를 구성한다.
• 통합 조건이 NS-NS 스트레인을 가진 IIA/B 초중력 이론의 초대칭 방정식과 어떻게 연결되는지 연결한다.

제안 방법

• 형식 $ Omega^p(M)$ 내의 안정 형식을 사용하여 $GL(TM)$의 축소를 $PSU(3)$, $G_2$, 또는 $Spin(7)$ 등의 안정자 부분군으로 유도한다.
• $T \oplus T^*$ 위에 내적의 계약을 통해 서명 $(n,n)$을 가진 일반화된 메트릭 구조를 정의한다.
• 짝수 또는 홀수 형식을 $Spin(n,n)$의 스피너로 표현하여 $G_2\times G_2$ 또는 $Spin(7)\times Spin(7)$로의 축소를 이끌어낸다.
• 체적 함수수의 임계점으로서 통합성을 정의하기 위해 닫힌 형식 위에 제약 조건이 있는 변분 문제를 설정한다.
• $S^1$-_bundle 위에서 T-duality를 사용하여 $P$ 위의 구조를 $P^t$ 위의 쌍대 구조와 연결하고, 토파스와 유형(짝수/홀수)을 변환한다.
• 왜곡된 딜라크 연산자를 적용하여 조화 스피너 값 1-형식이 통합 가능한 $PSU(3)$-구조와 동치임을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체 위에 $PSU(3)$-구조가 존재하기 위한 필수 및 충분한 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 $T \oplus T^*$ 위의 닫힌 형식을 사용하여 일반화된 $G_2$- 및 $Spin(7)$-구조를 정의할 수 있으며, 그 기하적 성질은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 형식의 통합 조건과 NS-NS 배경 필드를 가진 IIA/B 초중력 이론의 초대칭 방정식 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 T-duality는 일반화된 $G_2$- 및 $Spin(7)$-구조를 어떻게 변형하며, 새로운 예를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 일반화된 구조를 갖는 컴팩트 다양체의 곡률과 리치 텐서 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 통합 가능한 $PSU(3)$-구조는 구조가 $SU(3)$-구조로 올라갈 수 있을 경우에만 컴팩트 다양체 위에 존재하며, 트라이얼리티 클래스로부터 위상적 제약 조건이 발생한다.
• 수직 호모토피에 대해 수학적 $PSU(3)$-구조는 왜곡된 딜라크 연산자 아래에서 조화 스피너 값 1-형식으로 특성화된다.
• 일반화된 $G_2$- 및 $Spin(7)$-구조는 $Spin(7,7)$ 또는 $Spin(8,8)$ 내부의 $G_2\times G_2$ 또는 $Spin(7)\times Spin(7)$로의 축소를 안정화하는 닫힌 형식을 통해 정의된다.
• 통합 조건은 NS-NS 배경 필드를 가진 IIA/B 초중력 이론의 초대칭 방정식과 동치이다.
• 이러한 구조가 컴팩트 다양체 위에 존재할 경우 리치 텐서는 0이 되며, 이는 오직 자명한 해만 존재함을 의미한다.
• 비자명한 국소적 예로, $S^1$-파라메트릭 구조 위에서 T-duality를 통해 짝수 및 홀수 유형의 통합 가능한 일반화된 $Spin(7)$-구조를 구성한다.