[논문 리뷰] Special values and integral representations for the Hurwitz-type Euler zeta functions

Su Hu, Daeyeoul Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 17.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 26인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 전개 기법을 사용하여 허리츠 타입의 오일러 제타 함수 $\zeta_E(s,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+x)^s}$의 적분 표현과 특수값을 유도한다. 유리수 인자에서의 합에 대한 닫힌 표현식을 수립하고, 오일러 다항식과 베르누이 다항식과 연결함으로써 딜리클레 베타 함수와 카탈란 상수에 대한 새로운 항등식을 도출한다.

ABSTRACT

The Hurwitz-type Euler zeta function is defined as a deformation of the Hurwitz zeta function: \begin{equation*} ζ_E(s,x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+x)^s}. \end{equation*} In this paper, by using the method of Fourier expansions, we shall evaluate several integrals with integrands involving Hurwitz-type Euler zeta functions $ζ_E(s,x)$. Furthermore, the relations between the values of a class of the Hurwitz-type (or Lerch-type) Euler zeta functions at rational arguments have also been given.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 급수 방법을 사용하여 허리츠 타입 오일러 제타 함수 $\zeta_E(s,x)$를 포함하는 적분 표현을 유도하는 것.
• 유리수 인자에서의 $\zeta_E(s,x)$ 특수값 간의 관계를 수립하는 것.
• 푸리에 계수 분석을 통해 $\zeta_E(s,x)$와 오일러 다항식의 모멘트와 곱을 닫힌 형태로 평가하는 것.
• 디리클레 베타 함수 $\beta(2m)$와 카탈란 상수 $G$에 대한 유한한 닫힌 표현식을 도출하는 것.
• 함수적 항등식을 통해 고전적 아이젠슈타인 형식을 오일러 제타 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 다음과 같은 $\zeta_E(s,x)$의 푸리에 전개를 활용: $\zeta_E(s,x) = \frac{2\Gamma(1-s)}{\pi^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\sin\left((2n+1)\pi x + \frac{\pi s}{2}\right)}{(2n+1)^{1-s}}$ ($\operatorname{Re}(s) < 1$, $0 < x \leq 1$).
• 에스피노사와 몰의 방법을 적용하여 $[0,1]$에서 $\zeta_E(s,x)$와 삼각함수 및 지수함수의 곱의 적분을 평가하는 것.
• 함수적 방정식과 해석적 계속을 활용하여 유리수 점에서의 값이 오일러 다항식과 베르누이 다항식과 연결됨을 밝혀내는 것.
• 다음 항등식을 사용하여 닫힌 형태를 도출: $\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m) = \frac{(-1)^{n-1}}{4} \left(m^n E_{n-1}(\{2\alpha/m\}) + E_{n-1}(0)\right) - \frac{1}{2n} \left(m^n B_n(\{2\alpha/m\}) + B_n(0)\right)$.
• 푸리에 급수를 통한 베르누이 다항식과 오일러 다항식의 알려진 급수 전개를 활용하여 $\zeta_E(s,x)$를 $L$-함수의 특수값과 연결하는 것.
• 유도된 항등식과 알려진 특수함수 항등식을 사용하여 $\beta(2m)$와 카탈란 상수 $G$에 대한 오일러 형식의 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에 급수 전개를 통해 허리츠 타입 오일러 제타 함수의 적분 표현을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 유리수 인자 $x = r/m$에서의 $\zeta_E(s,x)$ 값 간에 어떤 관계가 존재하는가?
• RQ3 오일러 다항식과 $\zeta_E(s,x)$의 모멘트와 곱은 닫힌 형태로 평가할 수 있는가?
• RQ4 제타 함수 항등식을 통해 $\beta(2m)$와 카탈란 상수 $G$에 대한 어떤 유한한 닫힌 표현식을 얻을 수 있는가?
• RQ5 유도된 항등식은 고전적 아이젠슈타인 형식을 유리수 인자로 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 논문은 $\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m)$에 대해 $2\alpha/m$의 분수부에서 평가된 오일러 다항식과 베르누이 다항식을 이용한 닫힌 표현식을 도출한다.
• 논문은 $\beta(2m)$가 유도된 항등식을 통해 초월함수를 포함하지 않는 유한한 닫힌 표현식을 가짐을 밝혀낸다.
• 논문은 고전 결과를 오일러 제타 설정으로 확장하여 딜리클레 베타 함수 $\beta(2m)$에 대한 새로운 오일러 형식의 공식을 제공한다.
• 카탈란 상수 $G$는 애덤치크가 정리한 오일러 다항식과 베르누이 수를 포함하는 유한합으로 표현된다.
• 이 방법은 $\zeta_E(s,x)$를 포함하는 적분, 삼각함수 곱, 제타 함수의 모멘트를 명시적으로 평가할 수 있게 한다.
• 결과적으로 고전적 아이젠슈타인 공식은 삼각함수 코탄젠트 항을 $\zeta_E(s,x)$와 오일러 다항식을 포함하는 합으로 일반화한다.