[논문 리뷰] Special values of anticyclotomic L-functions for modular forms

Masataka Chida, Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고차수 (k ≥ 4)의 일반형 모듈라 형식에 대해 반순환 p-진 L함수를 구성하며, 이는 이전의 두 차수 형식에 대한 연구를 일반화한다. 모든 임계 특수화에서의 보간 공식을 확립하고, 함수방정식을 증명하며, μ-불변량이 사라지고, 적절한 조건 하에서 ℓ에 모odulo하여 중심 L값이 반순환 변형에 대해 0이 아니라는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this article, we generalize some works of Bertolini-Darmon and Vatsal on anticyclotomic L-functions attached to modular forms of weight two to higher weight case. We construct a class of anticyclotomic p-adic L-functions for ordinary modular forms and derive the functional equation and the interpolation formula at all critical specializations. Moreover, we prove results on the vanishing of mu-invariant of these p-adic L-functions and the non-vanishing of central L-values with anticyclotomic twists.

연구 동기 및 목표

• 두 차수의 모듈라 형식에서 반순환 p-진 L함수 이론을 고차수 일반형 모듈라 형식으로 확장하기.
• 허용된 허수 정수환 K의 반순환 Z_p-확장 위에서 p-진 L함수를 구성하기.
• 모든 임계 특수화에서 보간 공식과 구성된 p-진 L함수의 함수방정식을 확립하기.
• p-일반성 가정 하에 p-진 L함수의 μ-불변량이 소멸함을 증명하기.
• 적절한 조건 하에서 반순환 허케 특성에 의해 변형된 중심 L값 L(f/K, χ, k/2)이 ℓ에 모odulo하여 0이 아님을 보여주기.

제안 방법

• 반순환 갈루아군 Γ⁻의 아이와사 대수에서의 θ-요소를 통해 p-진 L함수를 구성한다.
• 자코넷-랑즈 대응을 사용하여 GL(2) 위의 모듈라 형식을 정적일 확정 편의 quaternion 대수 위의 자동형 형식과 연결한다.
• 그로스 점과 특수 사이클 이론을 적용하여 임계값을 보간하는 θ-요소를 정의한다.
• 감마 인자, 주기, p-진 승수, 국소 루트 수를 포함하는 명시적 보간 공식을 유도한다.
• 테일러-윌즈 방법과 변형 이론을 사용하여 허케 모듈러의 자유성과 세일머 그룹의 구조를 제어한다.
• 스네이크 보조정리와 코homological 계산을 활용하여 세일머 그룹을 p-진 L함수의 구조와 특별한 값에 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 (k ≥ 4)의 일반형 모듈라 형식에 대해 반순환 p-진 L함수를 구성할 수 있는가? (두 차수의 경우에 한정되지 않고.)
• RQ2 p-진 L함수의 보간 공식이 모든 임계 특수화 (m, -m)에서 |m| < k/2 를 만족할 때 성립하는가?
• RQ3 구성된 p-진 L함수가 만족하는 함수방정식은 무엇인가?
• RQ4 p-진 L함수의 μ-불변량이 소멸하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 어떤 조건에서 반순환 변형 χ에 의한 중심 L값 L(f/K, χ, k/2)이 ℓ에 모odulo하여 0이 아닐까?

주요 결과

• 모든 임계 χ(중량 (m, -m))에 대해, p-진 L함수 Θ∞ ∈ Of,λ[[Γ⁻]]가 존재하여 χ(Θ∞²)가 명시적 주기와 p-진 승수에 의해 상수배를 제외한 임계 L값 L(f/K, χ, k/2)를 보간한다.
• 보간 공식은 감마 인자 Γ(k/2 + m)Γ(k/2 - m), 복소 주기 Ωf,N⁻, 그리고 p의 분할 유형과 중량 k에 따라 달라지는 p-진 승수 ep(f, χ)를 포함한다.
• p > k - 2 이고 Ap가 λ-진 단위일 경우 (p-일반성 가정), p-진 L함수의 μ-불변량은 0이다.
• p-진 아바타 χ가 임계이고, 허케 체가 ℓ에서 비분할일 경우, 중심 L값 L(f/K, χ, k/2)는 ℓ에 모odulo하여 0이 아니다.
• 구성은 함수방정식과 일치하며, 갈루아 작용에 따라 아르키메데스 및 p-진 보간 성질과 일치하는 방식으로 p-진 L함수가 변환된다.
• 세일머 그룹의 코homological 제어와 아이와사 대수 위의 허케 모듈러의 구조를 통해, θ-요소의 ℓ에 모odulo한 비영성은 확립된다.