[논문 리뷰] Special values of automorphic $L$-functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ over CM fields, factorization and functoriality of arithmetic automorphic periods

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마이클 허리스의 산술형 자동형식 주기 이론을 일반적인 CM 체로 일반화하고, 이들이 국소 성분으로 분해됨을 증명한다. 또한 CM 체 위에서 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_{n'}$의 $L$-함수의 임계값이 이러한 주기들로 표현됨을 보이며, 자동형식 유도와 순환 기저 변경에 대해 함자성을 보이고, 모티브에 대해 델리그의 추측과의 호환성을 확인한다.

ABSTRACT

Michael HARRIS defined the arithmetic automorphic periods for certain cuspidal representations of $GL_{n}$ over quadratic imaginary fields in his Crelle paper 1997. He also showed that critical values of automorphic L-functions for $GL_{n} imes GL_{1}$ can be interpreted in terms of these arithmetic automorphic periods. In the thesis, we generalize his results in two ways. Firstly, the arithmetic automorphic periods have been defined over general CM fields. We also prove that these periods factorize as products of local periods over infinity places. Secondly, we show that critical values of automorphic $L$ functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ can be interpreted in terms of these automorphic periods in many situations. Consequently we show that the automorphic periods are functorial for automorphic induction and cyclic base change. We also define certain motivic periods if the motive is restricted from a CM field to the field of rational numbers. We can calculate Deligne's period for tensor product of two such motives. We see directly that our automorphic results are compatible with Deligne's conjecture for motives.

연구 동기 및 목표

• 허리스의 산술형 자동형식 주기 이론을 허리스의 이차 허수 체에서 일반적인 CM 체로 확장하기.
• CM 체 위에서 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_{n'}$의 임계 $L$-값이 이러한 주기들로 표현됨을 증명하기.
• 무한대 자리에서 산술형 자동형식 주기가 국소 성분으로 분해됨을 확립하기.
• 자동형식 유도와 순환 기저 변경에 대해 이러한 주기들의 함자성을 보여주기.
• CM 체에서 유도된 $\mathbb{Q}$ 위의 모티브에 대해 산술형 주기를 정의하고, 델리그의 추측과의 호환성을 검증하기.

제안 방법

• 일반적인 CM 체 위에서 코homological, 쌍대 자기 동형, 단순표현에 대해 산술형 자동형식 주기를 정의하기.
• 호지 구조와 유리 쌍대성 구조를 이용해 무한대 자리에서 이러한 주기가 국소 주기의 곱으로 분해됨을 증명하기.
• 샤히디의 월라커 주기 계산과 코homology 위의 유리 구조를 활용해 전역 주기와 $L$-값을 연결하기.
• 기저 변경과 자동형식 유도 기법을 적용해 이러한 연산에 대한 주기의 함자성을 확립하기.
• 스펙트럼 매개변수에 의해 정확히 결정되는 지수를 가진 산술형 주기와 $2\pi i$의 거듭제곱의 곱으로 특수값에 대한 명시적 공식 유도하기.
• CM 체 위의 헤케 특성에 기반한 모티브의 텐서곱에 대해 델리그의 주기를 계산하여 델리그의 추측과의 호환성을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술형 자동형식 주기는 어떻게 이차 허수 체에서 임의의 CM 체로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 산술형 자동형식 주기는 어떤 방식으로 무한대 자리에서 국소 성분으로 분해되는가?
• RQ3 CM 체 위에서 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_{n'}$의 임계 $L$-값은 이러한 주기들로 표현될 수 있는가?
• RQ4 산술형 자동형식 주기는 자동형식 유도와 순환 기저 변경에 대해 함자적인가?
• RQ5 특수 $L$-값에 대한 자동형식 공식은 모티브에 대해 델리그의 추측과 호환되는가?

주요 결과

• CM 체 위에서 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_{n'}$의 임계 $L$-값은 스펙트럼 매개변수에 의해 결정되는 지수를 가진 산술형 자동형식 주기와 $2\pi i$의 거듭제곱의 곱으로 표현된다.
• 산술형 자동형식 주기는 무한대 자리에서 국소 주기의 곱으로 분해되며, 이는 핵심적인 구조적 성질을 확인한다.
• 주기는 자동형식 유도와 순환 기저 변경에 대해 함자적이며, 전역 및 국소 성분 간의 주기 관계를 통해 이를 입증한다.
• 만약 $r_1 \equiv r_2 \pmod{2}$ 이면, $L(1, \Pi_1 \times \Pi_2) \sim_{E(\Pi_1)E(\Pi_2);K} (2\pi i)^{r_1 r_2} \prod_{j=0}^{r_1} P^{(j)}(\Pi_1)^{sp(j,\Pi_1;\Pi_2)} \prod_{k=0}^{r_2} P^{(k)}(\Pi_2)^{sp(k,\Pi_2;\Pi_1)}$.
• 만약 $r_1 \not\equiv r_2 \pmod{2}$ 이면, $L(\frac{1}{2}, (\Pi_1 \otimes \psi) \times \Pi_2) \sim_{E(\Pi_1)E(\Pi_2)E(\psi);K} (2\pi i)^{r_1 r_2 / 2} \prod_{j=0}^{r_1} P^{(j)}(\Pi_1 \otimes \psi)^{sp(j,\Pi_1 \otimes \psi;\Pi_2)} \prod_{k=0}^{r_2} P^{(k)}(\Pi_2)^{sp(k,\Pi_2;\Pi_1 \otimes \psi)}$이며, 정확한 지수는 스펙트럼 매개변수로부터 유도된다.
• 자동형식 결과는 델리그의 추측과 호환되며, CM 체에서 유도된 $\mathbb{Q}$ 위의 모티브의 텐서곱에 대해 델리그의 주기를 계산하여 이를 검증하였다.