[논문 리뷰] Special Values of Zeta Functions of Schemes

Stephen Lichtenbaum|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Spec ℤ 위에 정규적이고 프로젝티브이며 평탄한 스킴에 대한 리만 제타함수의 특수값에 대한 추측적 공식을 제안한다. 이 공식은 부호와 2의 거듭제곱을 제외한, 특수화된, 드람, 및 윌-에테일 모티브 코homology 군으로 구성된 복합체의 오일러 지표들의 곱으로 표현된다. 이 공식은 차원 d ≤ 2일 때 세르의 함수방정식과 호환되며, d > 2일 경우 기존의 추측들에 따라 호환성이 유지된다. 이는 비엘린슨, 블로흐-카토, 퐁탱-페리앙-루의 이전 작업을 일반화한다.

ABSTRACT

Let X be a regular scheme, projective and flat over Spec \mathbb Z. We give a conjectural formula, up to sign and powers of 2, for ζ^*(X,r), the leading term in the series expansion of ζ(X,s) at s=r, in terms of Weil-etale motivic cohomology, singular cohomology, and derived de Rham cohomology. This formula builds on work of Fontaine and Perrin-Riou replacing \mathbb Q_structuers by \mathbb Z-structures. We show that our conjectured formula is compatible with Serre's functional equation for the zeta function of X.

연구 동기 및 목표

• Spec ℤ 위의 정규 스킴 X에 대한 제타함수의 특수값 ζ*(X,r)에 대한 추측적 공식을 제시하며, 부호와 2의 거듭제곱을 제외한 유효성 보장.
• 이 특수값들을 특수화된, 드람, 윌-에테일 모티브 코hom로지 군의 정수 구조를 갖춘 복합체의 오일러 지표들의 곱으로 표현.
• 차원 d ≤ 2인 스킴에 대해 추측이 세르의 함수방정식과 호환됨을 확립.
• 기존에 증명되지 않은 추측들, 특히 에테일 모티브 코hom로지의 유한성과 대칭성에 기반하여, 고차원 d > 2에 대해서도 호환성을 확장.
• 비엘린슨, 블로흐-카토, 퐁탱-페리앙-루, 플라치-모린의 이전 추측들을 통합하고 정밀화하여, 무한소 자리와 조정자에 대한 더 정확한 처리를 포함.

제안 방법

• 추측은 비엘린슨 조정자와 아라켈로프 교차쌍대성 쌍을 통해 유도된 복합체의 오일러 지표들의 곱으로 ζ*(X,r)를 표현한다.
• 특수화된, 드람, 윌-에테일 모티브 코호몰로지 군의 변형을 사용하여 정수 구조를 갖춘 복합체를 구성한다.
• 블로흐-카토-사이토 정리에 기반하여 특수값을 개별 코호몰로지 군이 아닌 복합체의 오일러 지표로 연결한다.
• 조정자 사상과 그 행렬식을 사용하여 특수값 공식을 정의하며, 토크션과 2의 거듭제곱 인자에 대한 수정 항을 포함한다.
• 지역 분석을 피하고 무한소 자리에 집중함으로써, 이전의 지역곱 기반 접근보다 더 개념적인 공식을 얻는다.
• ℂ로의 ζ(X,s)의 유리형 연속성, 에테일 모티브 코호몰로지의 유한생성성, 그리고 H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r))와 H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r)) 간의 대칭성에 대한 가정을 통해 함수방정식과의 호환성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Spec ℤ 위의 정규 스킴에 대한 제타함수 특수값은 부호와 2의 거듭제곱을 제외하고, 어떻게 모티브 코호몰로지와 조정자로 표현될 수 있는가?
• RQ2 차원 dim X ≤ 2일 때, 제안된 추측이 X의 제타함수에 대해 세르의 함수방정식과 어느 정도 호환되는가?
• RQ3 고차원 d > 2로의 호환성을 확장하기 위해 어떤 조건이 필요한가? 이는 문헌에 있는 기존 추측들과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 제안된 공식은 비엘린슨, 블로흐-카토, 퐁탱-페리앙-루, 플라치-모린의 이전 추측들과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 개별 코호몰로지 군이 아닌 복합체의 오일러 지표를 사용함으로써, 코호몰로지의 토크션 문제는 어떻게 해결되는가?

주요 결과

• 블로흐-카토-사이토 정리와 에테일 코호몰로지의 대칭성에 기반하여, 차원 d ≤ 2인 스킴에 대해 추측이 세르의 함수방정식과 호환됨을 입증.
• d > 2일 경우, 두 가지 증명되지 않은 추측—특히 H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r))의 유한성과 H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r))와의 폰트리아진 대칭성—에 따라 호환성이 유지되며, 이는 d ≤ 2일 경우 이미 알려져 있다.
• 이 추측은 r ≤ 0에 대해 비엘린슨의 공식과 j−2r ≤ −3에 대해 블로흐-카토의 공식을 일반화하여 모든 정수 r에 대해 확장한다.
• ζ*(X,r)는 |K_{2r−2}(O_F)| / |K_{2r−1}(O_F)_{tor}|, 조정자 행렬식 R_r, (2πi)^{rs(r)}와 d_F^{r−1/2}의 곱으로 표현되며, 2-토션을 제외한 형태이다.
• 제안된 추측이 r=1일 때 애리스메트릭 표면의 재미르의 제타함수와 버치-스위너튼다이어 추측과 동치임을 입증하였으며, 라마찬드란과 플라치-지버트의 결과를 확장한다.
• 유도된 외적 거듭제곱 구조 λ^k(Ω)가 유도 범주에서 Ω[k−1]과 동형임을 보였으며, 이는 판별식 d_F와 조정자 기여도로 오일러 지표를 계산하는 데 기여한다.