[논문 리뷰] Spectacle cycles with coefficients and modular forms of half-integral weight

Jens Funke, John J. Millson|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 '스펙터클 사이클'—비자명한 계수를 가진 캡드 모듈러 기호—를 도입하여 코어스 형식에서 임의의 모듈러 형식, 특히 아이젠스타인 급수까지의 샤틴 리프트를 확장한다. 이는 비콤팩트 설정에서 Kudla-Millson 쌍대성을 새로운 단순형 호모로지 이론과 함께 일반화하며, 이러한 사이클을 통해 코homological 주기의 생성함수는 반정수 스피너 무게의 모듈러 형식임을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we present a geometric way to extend the Shintani lift from even weight cusp forms for congruence subgroups to arbitrary modular forms, in particular Eisenstein series. This is part of our efforts to extend in the noncompact situation the results of Kudla-Millson and Funke-Millson relating Fourier coefficients of (Siegel) modular forms with intersection numbers of cycles (with coefficients) on orthogonal locally symmetric spaces. In the present paper, the cycles in question are the classical modular symbols with nontrivial coefficients. We introduce "capped" modular symbols with coefficients which we call "spectacle cycles" and show that the generating series of cohomological periods of any modular form over the spectacle cycles is a modular form of half-integral weight. In the last section of the paper we develop a new simplicial homology theory with local coefficients (that are not locally constant) that allows us to extend the above results to orbifold quotients of the upper half plane.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 설정에서 코어스 형식에서부터 임의의 모듈러 형식, 특히 아이젠스타인 급수까지의 샤틴 리프트를 확장하는 것.
• 경계 행동을 포착하는 상대 사이클을 통해 코homology 군에 대한 쿠드라-밀슨 스칼라 리프트를 일반화하는 것.
• 상부 반평면의 오비포드 몫을 다룰 수 있는 비국소적으로 상수인 국소계수를 가진 단순형 호모로지 이론을 개발하는 것.
• 캡드 사이클과 테타 급수의 보정 항을 사용하여 히르츠브루흐-자지어 결과에 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 스펙터클 사이클을 따라 코homological 주기의 생성함수가 반정수 스피너 무게의 모듈러 형식이 됨을 확립하는 것.

제안 방법

• 대칭 거듭제곱 국소계수 $\widetilde{E_{2k}}$ 를 갖는 캡드 모듈러 기호로서 '스펙터클 사이클'을 도입한다.
• $\overline{X}$ 위에 경계 $\partial\overline{X}$ 를 가진 맵핑 콘 드람 복합체를 구성하여 비자명한 계수를 가진 상대 코homology 를 모델링한다.
• 형식 $\alpha$ 가 $a - d(f\tilde{b}) = \alpha + d\mu$ 를 만족할 때, 컴acts지지 코homology $H^i_c(X,E)$ 에서 코homology 클래스 $[a,b]$ 를 정의한다.
• 경계 $\partial\overline{X}$ 의 콜라주 이웃에서의 재접합 사상 $f$ 를 사용하여 형식을 연장하고, $f\tilde{b}$ 를 통해 보정 항을 정의한다.
• 매핑 $F(a,b) = [a,b]$ 를 통해 $\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$ 의 동형사상을 확립하여 코homology 와의 호환성을 보장한다.
• 적분 공식 $\int_{\overline{X}} \eta \wedge \alpha = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$ 을 사용하여 크로네커 쌍대를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 케이스에서 샤틴 리프트를 코어스 형식에서 임의의 모듈러 형식, 특히 아이젠스타인 급수까지 확장할 수 있는가?
• RQ2 경계 기여를 포함하는 코homology 군에 대해 쿠드라-밀슨 스칼라 리프트를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 비국소적으로 상수인 국소계수의 역할은 사이클과 그들의 코homological 주기 정의에서 어떤가?
• RQ4 오비포드 몫에서 비자명한 국소계수를 다룰 수 있는 단순형 호모로지 이론은 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ5 캡드 모듈러 기호를 따라 주기의 생성함수가 반정수 스피너 무게의 모듈러 형식임을 어떻게 보일 수 있는가?

주요 결과

• 스펙터클 사이클을 따라 코homological 주기의 생성함수는 $S_{k+3/2}(\Gamma') \otimes H^1(X, \widetilde{E_{2k}})$ 에 속하는 반정수 스피너 무게의 모듈러 형식이다.
• $F: (a,b) \mapsto [a,b]$ 는 $\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$ 에 대한 동형사상을 유도하며, 코homological 쌍대성을 확립한다.
• 적분 공식 $\langle[\eta],[a,b]\rangle = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$ 는 크로네커 쌍대를 위한 기하학적 쌍대를 제공한다.
• 상대 사이클 $C_n$ 을 캡드하여 절대 사이클 $C_n^c$ 를 구성함으로써, 테타 리프트를 전체 코homology, 즉 경계 기여까지 포함하여 확장할 수 있다.
• 이 방법은 히르츠브루흐-자지어 결과를 두 개의 비해석적 모듈러 형식의 차이로 복원하며, 이제 맵핑 콘 복합체를 통해 위상적으로 해석된다.
• 비국소적으로 상수인 계수를 가진 새로운 단순형 호모로지 이론은 상부 반평면의 오비포드 몫으로 결과를 확장할 수 있게 한다.