[논문 리뷰] Spectra of large random trees

Shankar Bhamidi, Steven N. Evans외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 20.

Random Matrices and Applications참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률적 프링 프로빙 수렴와 상호 끼워넣기 부등식을 이용하여 다양한 크기의 랜덤 트리의 인접행렬의 경험적 스펙트럼 분포(ESD)가 결정론적 극한으로 거의 확실히 수렴함을 증명한다. 프리퍼런셜 애셋, 리커시브 트리, 균일 트리와 같은 모델들에 대해, 한계 스펙트럼 측도는 실수선 위에 조밀한 원소 집합을 가지며, 최대 매칭을 통한 정확한 점근적 분석을 통해 영 고유값의 수에 대한 점근적 성질을 도출한다. 이는 가중 매칭과 이소스펙트럴리티에 관한 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

We analyze the eigenvalues of the adjacency matrices of a wide variety of random trees. Using general, broadly applicable arguments based on the interlacing inequalities for the eigenvalues of a principal submatrix of a Hermitian matrix and a suitable notion of local weak convergence for an ensemble of random trees, we show that the empirical spectral distributions for each of a number of random tree models converge to a deterministic (model dependent) limit as the number of vertices goes to infinity. We conclude for ensembles such as the linear preferential attachment models, random recursive trees, and the uniform random trees that the limiting spectral distribution has a set of atoms that is dense in the real line. We obtain precise asymptotics on the mass assigned to zero by the empirical spectral measures via the connection with the cardinality of a maximal matching. Moreover, we show that the total weight of a weighted matching is asymptotically equivalent to a constant multiple of the number of vertices when the edge weights are independent, identically distributed, non-negative random variables with finite expected value. We greatly extend a celebrated result obtained by Schwenk for the uniform random trees by showing that, under mild conditions, with probability converging to one, the spectrum of a realization is shared by at least one other tree. For the the linear preferential attachment model with parameter $a > -1$, we show that the suitably rescaled $k$ largest eigenvalues converge jointly.

연구 동기 및 목표

• 다양한 모델에서 크기의 랜덤 트리의 인접행렬에 대한 경험적 스펙트럼 분포(ESD)가 약한 수렴을 통해 결정론적 극한으로 수렴함을 입증하는 것.
• 최대 매칭의 조합적 성질을 이용하여 랜덤 트리에서 영 고유값의 수의 한계 행동을 분석하는 것.
• 랜덤 트리에서 가중 매칭에 관한 결과를 확장하여, 동일분포인 비음수 간선 가중치 하에서 총 가중치가 정점 수의 일정한 배수와 점근적으로 동치임을 보이는 것.
• 랜덤 트리 집합에서의 이소스펙트럴리티를 조사하여, 높은 확률로 트리의 스펙트럼이 서로 이sovolumetric하지 않은 트리와 공유됨을 증명하는 것.
• 선형 프리퍼런셜 애셋 모델에서 가장 큰 고유값들의 공동 극한 분포를 $ n^{1/2\gamma_a} $로 재스케일링하여 특성화하는 것.

제안 방법

• 랜덤 트리 집합의 스펙트럼 극한을 분석하기 위해 국소 약한 수렴의 일종인 확률적 프링 프로빙 수렴을 사용한다.
• 헤르미트 행렬의 주부분행렬 고유값에 대한 상호 끼워넣기 부등식을 적용하여 국소 트리 구조와 스펙트럼 행동 간의 관계를 규명한다.
• 최대 매칭을 구성하고 분석하기 위해 카르프-시프서 알고리즘의 단순화된 버전을 활용한다.
• 조합적 항등식을 통해 인접행렬의 영 고유값 수와 최대 매칭의 크기 간의 관계를 연결한다.
• 램플라이터 군의 카일리 그래프에서의 생성함수와 행렬 거듭제곱을 이용하여 한계 스펙트럼 측도의 모멘트를 계산한다.
• 램플라이터 군의 표현 이론을 적용하여 행렬 거듭제곱을 분석하고 스펙트럼 모멘트 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기의 랜덤 트리의 인접행렬에 대한 경험적 스펙트럼 분포(ESD)가 정점 수가 무한히 증가함에 따라 약한 수렴을 통해 결정론적 극한으로 수렴하는가?
• RQ2 랜덤 트리에서 영 고유값의 수의 한계 행동은 어떻게 되며, 최대 매칭의 크기와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 동일분포인 비음수 간선 가중치를 가진 랜덤 트리에서 최대 가중 매칭의 총 가중치는 정점 수의 일정한 배수로 점근적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 큰 랜덤 트리 모델에서 랜덤 트리가 동일한 스펙트럼을 공유하는 비이sovolumetric한 형제 트리를 가질 확률은 얼마인가?
• RQ5 선형 프리퍼런셜 애셋 모델에서 인접행렬의 가장 큰 고유값들은 점근적으로 어떻게 행동하는가? 그리고 적절한 재스케일링 후 공동 극한 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 다양한 랜덤 트리 모델의 인접행렬에 대한 경험적 스펙트럼 분포(ESD)는 정점 수가 무한히 증가함에 따라 약한 수렴을 통해 결정론적 극한으로 수렴한다.
• 선형 프리퍼런셜 애셋, 리커시브 트리, 균일 트리와 같은 모델의 한계 스펙트럼 측도는 실수선 위에 조밀한 원소 집합을 가진다.
• 인접행렬에서 영 고유값의 비율은 확률적으로 일정한 값으로 수렴하며, 이 극한은 트리의 최대 매칭 크기에 의해 결정된다.
• 유한한 평균을 가진 i.i.d. 비음수 간선 가중치 하에서, 최대 가중 매칭의 총 가중치는 정점 수의 일정한 배수와 점근적으로 동치이다.
• 선형 프리퍼런셜 애셋 모델에서 파arameter $ a > -1 $를 가진 랜덤 트리의 스펙트럼은 높은 확률로 서로 이sovolumetric하지 않은 트리와 공유된다.
• 선형 프리퍼런셜 애셋 모델에서 $ k $개의 가장 큰 고유값은 $ n^{1/2\gamma_a} $로 재스케일링된 후, 비퇴화된 극한 분포로 공동으로 수렴한다. 여기서 $ \gamma_a = a+2 $이다.