[논문 리뷰] Spectral Analysis of Product Formulas for Quantum Simulation

Changhao Yi, Elizabeth Crosson|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 시뮬레이션에서 1차 Lie-Trotter 곱공식으로 생성된 효과적 해밀토니안의 스펙트럼 분석을 제안하며, 초기 상태가 에너지 고유상태이거나 좁은 에너지 밴드에 있을 경우, 위상 추정과 디지털 아디아바틱 시뮬레이션에서의 Trotter 오차가 크게 감소함을 보여준다. 고유값과 고유벡터의 변화를 분석함으로써 저자들은 개선된 스케일링을 입증한다: 양자 위상 추정에서는 Trotter 단계 크기를 𝒪(ε)에서 𝒪(ε^{1/2})로 증가시키며, 디지털 아디아바틱 시뮬레이션에서는 𝒪(M^{-1})에서 𝒪(M^{-2})로 향상된다. 최적의 단계 크기는 아디아바틱 오차와 Trotter 오차를 균형 잡는 데 기여한다.

ABSTRACT

We consider Hamiltonian simulation using the first order Lie-Trotter product formula under the assumption that the initial state has a high overlap with an energy eigenstate, or a collection of eigenstates in a narrow energy band. This assumption is motivated by quantum phase estimation (QPE) and digital adiabatic simulation (DAS). Treating the effective Hamiltonian that generates the Trotterized time evolution using rigorous perturbative methods, we show that the Trotter step size needed to estimate an energy eigenvalue within precision $ε$ using QPE can be improved in scaling from $ε$ to $ε^{1/2}$ for a large class of systems (including any Hamiltonian which can be decomposed as a sum of local terms or commuting layers that each have real-valued matrix elements). For DAS we improve the asymptotic scaling of the Trotter error with the total number of gates $M$ from $\mathcal{O}(M^{-1})$ to $\mathcal{O}(M^{-2})$, and for any fixed circuit depth we calculate an approximately optimal step size that balances the error contributions from Trotterization and the adiabatic approximation. These results partially generalize to diabatic processes, which remain in a narrow energy band separated from the rest of the spectrum by a gap, thereby contributing to the explanation of the observed similarities between the quantum approximate optimization algorithm and diabatic quantum annealing at small system sizes. Our analysis depends on the perturbation of eigenvectors as well as eigenvalues, and on quantifying the error using state fidelity (instead of the matrix norm of the difference of unitaries which is sensitive to an overall global phase).

연구 동기 및 목표

• 1차 Lie-Trotter 공식으로 생성된 효과적 해밀토니안을 분석함으로써, 양자 위상 추정(QPE)과 디지털 아디아바틱 시뮬레이션(DAS)에서 Trotter 단계 크기의 스케일링을 향상시키는 것.
• 초기 상태가 에너지 고유상태에 가까운 경우의 상태 허용도와 위상 오차에 중점을 두어, 연산자 노름 기반 오차 한계의 한계를 극복하는 것.
• 특히 H의 고유기저에서 1차 섭동이 사라질 경우 효과적 해밀토니안 𝒯H의 스펙트럼에 대한 섭동 이론을 활용해 더 엄밀한 오차 한계를 유도하는 것.
• 고정된 회로 깊이 M에 대해 DAS에서 Trotter 오차와 아디아바틱 근사 오차를 균형 잡는 약간의 최적 Trotter 단계 크기를 규명하는 것.
• 좁은 에너지 밴드 간에 스펙트럼 갭이 존재하는 경우, 이론을 비아디아바틱 과정으로 일반화하여 QAOA와 비아디아바틱 양자 냉각 간의 유사성을 설명하는 것.

제안 방법

• 효과적 해밀토니안 𝒯H는 𝒯H ≡ i log(T(δt))/δt로 정의되며, 여기서 T(δt)는 1차 곱공식 근사이다.
• 원래 해밀토니안 H의 스펙트럼 {Ek, |ψk⟩}와 효과적 해밀토니안 𝒯H의 스펙트럼을 비교하기 위해 섭동 방법을 적용하며, 고유값과 고유벡터의 수정을 중점적으로 분석한다.
• 오차는 전역 위상 민감도를 피하기 위해 단위 연산자 노름 대신 상태 허용도를 사용하여 위상 오차 θ와 허용도 오차 f로 정량화한다.
• QPE의 경우, H의 고유기저에서 1차 섭동이 사라지면 위상 오차가 𝒪(Lδt³)로 스케일링되며, 이는 이전의 𝒪(Lδt²)보다 향상된 것이다.
• DAS의 경우, 효과적 해밀토니안에 아디아바틱 정리를 적용하여 허용도 오차를 경계함으로써 총 게이트 수 M에 대해 𝒪(M^{-2})의 개선된 스케일링을 이끌어낸다.
• 전체 오차를 최소화하기 위해 Tc = 2MD/(3C1)로 유도된 최적 시간 매개변수 Tc를 도출하였으며, εopt = 𝒪(DC1/(Mλ³))로 제시된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 상태가 에너지 고유상태일 경우, 양자 위상 추정에서 정밀도 ε에 대해 Trotter 단계 크기를 𝒪(ε)를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 H의 고유기저에서 1차 섭동 항이 사라지면 위상 추정에서 Trotter 오차가 고차원으로 감소하는가?
• RQ3 고정된 회로 깊이 M에 대해 디지털 아디아바틱 시뮬레이션에서 Trotter 오차와 아디아바틱 근사 오차 사이의 최적 균형은 무엇인가?
• RQ4 효과적 해밀토니안 𝒯H의 스펙트럼 분석은 상태 특화 시뮬레이션에서 표준 연산자 노름 추정보다 더 엄밀한 오차 한계를 어떻게 도출하는가?
• RQ5 효과적 해밀토니안 접근법은 스펙트럼 갭이 존재하는 시스템에서 비아디아바틱 과정으로 일반화될 수 있으며, QAOA와 비아디아바틱 양자 냉각 간의 관찰된 유사성을 설명할 수 있는가?

주요 결과

• H의 고유기저에서 1차 섭동이 사라지면, 양자 위상 추정의 위상 오차는 𝒪(Lδt³)로 스케일링되며, 이는 정밀도 ε에 대해 단계 크기를 𝒪(ε^{1/2})로 증가시킬 수 있음을 의미한다.
• 디지털 아디아바틱 시뮬레이션의 총 오차는 총 게이트 수 M에 대해 𝒪(M^{-2})로 스케일링되며, 이는 이전의 𝒪(M^{-1}) 스케일링보다 향상된 것이다.
• 최적 시간 매개변수 Tc = 2MD/(3C1)는 아디아바틱 오차와 Trotter 오차를 균형 잡아 총 오차 경계를 최소화한다.
• 최적 오차 εopt는 𝒪(DC1/(Mλ³))로 경계되며, 여기서 D와 C1는 해밀토니안의 스펙트럼 성질과 효과적 해밀토니안의 섭동과 관련된 상수이다.
• 목표 오차 ε에 대해 필요한 회로 깊이는 𝒪(NDC1/(λ³ε))로 스케일링되며, 이는 DAS의 게이트 복잡도 향상에 기여한다.
• 분석은 QAOA와 비아디아바틱 양자 냉각 간의 유사성을 설명하며, 둘 다 좁은 에너지 밴드에 갇혀 있고 갭으로 분리되어 있음을 보여준다.