[논문 리뷰] Spectral and asymptotic properties of Grover walks on crystal lattice

Yusuke Higuchi, Norio Konno외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한 아벨 코팅 그래프인 결정 격자에서의 그로버 워크의 스펙트럼 및 점근적 성질을 분석하기 위해 비틀린 셰게디 워크를 도입한다. 스펙트럼 매핑 정리에 의해 워크의 스펙트럼을 비틀린 랜덤 워크와 연결함으로써, 몫 그래프의 베티 수가 1을 초과할 경우 국소화가 발생함을 증명하고, $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에 대한 극한 밀도 함수를 유도하여 반지름 $1/\sqrt{d}$인 구면 위에 $2^d$개의 특이점이 존재하는 선형 확산과 국소화의 공존을 보여준다. 주요 기여는 양자 워크의 행동을 그래프 위상구조와 연결하는 스펙트럼 이론적 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We propose a twisted Szegedy walk for estimating the limit behavior of a discrete-time quantum walk on a crystal lattice, an infinite abelian covering graph, whose notion was introduced by [14]. First, we show that the spectrum of the twisted Szegedy walk on the quotient graph can be expressed by mapping the spectrum of a twisted random walk onto the unit circle. Secondly, we show that the spatial Fourier transform of the twisted Szegedy walk on a finite graph with appropriate parameters becomes the Grover walk on its infinite abelian covering graph. Finally, as an application, we show that if the Betti number of the quotient graph is strictly greater than one, then localization is ensured with some appropriated initial state. We also compute the limit density function for the Grover walk on $\mathbb{Z}^d$ with flip flop shift, which implies the coexistence of linear spreading and localization. We partially obtain the abstractive shape of the limit density function: the support is within the $d$-dimensional sphere of radius $1/\sqrt{d}$, and $2^d$ singular points reside on the sphere's surface.

연구 동기 및 목표

• 결정 격자에서 이산 시간 양자 워크를 분석하기 위한 비틀린 셰게디 워크 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비틀린 셰게디 워크와 몫 그래프에서의 비틀린 랜덤 워크를 연결하는 스펙트럼 매핑 정리를 수립하기 위해.
• 폐로의 호몰로지적 구조를 이용하여 그로버 워크의 스펙트럼 분해를 특성화하기 위해.
• $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에서 선형 확산과 국로화의 공존을 조사하기 위해.
• $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에 대한 극한 밀도 함수의 형태와 지지집합을 도출하기 위해.

제안 방법

• $D$를 그래프 $G=(V,D)$의 화살표 집합으로 하여 $\ell^2(D)$에서 비틀린 셰게디 워크를 정의하고, 단위 연산자에 단계 편향을 도입한다.
• 경계 연산자 $d_A, d_B: \ell^2(D) \to \ell^2(V)$와 그 수반 연산자를 정의하여 힐버트 공간을 유전된 부분공간 $\mathcal{L}$과 수직보완공간 $\mathcal{L}^\perp$로 분해한다.
• $\mathcal{L}$이 비틀린 셰게디 워크에 대해 불변임을 보이고, 이는 $\ell^2(V)$에서의 비틀린 랜덤 워크로부터 유도된 고유값과 대응됨을 보여준다.
• $\mathcal{L}^\perp = \ker(d_A) \cap \ker(d_B)$임을 증명하고, 이는 그래프 내 폐로의 공간과 등급을 이루며 호몰로지적 구조를 드러냄을 보여준다.
• 공간 푸리에 변환을 사용하여 유한 그래프에서의 비틀린 셰게디 워크를 그들의 무한 아벨 코팅 그래프에서의 그로버 워크와 연결한다.
• 스펙트럼 매핑 정리를 적용하여 극한 밀도 함수를 계산하고, $\mathbb{Z}^d$에서의 지지집합과 특이점을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정 격자에서의 그로버 워크 스펙트럼은 그 몫 그래프에서의 비틀린 랜덤 워크 스펙트럼과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 어떤 위상적 조건에서 몫 그래프가 그로버 워크에서 국소화를 유도하는가?
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에 대한 극한 밀도 함수의 점근적 형태는 무엇인가?
• RQ4 $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에서 선형 확산과 국소화는 어떻게 공존하는가?
• RQ5 몫 그래프의 베티 수는 워크의 스펙트럼 및 점근적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절히 선택된 초기 상태를 사용할 경우, 몫 그래프의 베티 수가 1을 초과하면 그로버 워크에서 국소화가 보장된다.
• $\mathbb{Z}^d$에서의 그로버 워크에 대한 극한 밀도 함수의 지지집합은 반지름 $1/\sqrt{d}$인 $d$차원 구 내부에 포함된다.
• 극한 밀도 함수는 반지름 $1/\sqrt{d}$인 $d$차원 구의 표면 위에 $2^d$개의 특이점이 존재한다.
• 기저 랜덤 워크의 절대 연속 스펙트럼 부분은 양자 워크에서 선형 확산을 담당한다.
• $d=2$일 경우, 극한 밀도 함수가 명시적으로 $\rho_2(x,y) = \frac{4}{\pi^2 \cos^2 2\gamma}$로 표현되며, 이는 각도 매개변수 $\gamma$에 따라 달라지며 원 위에 특이점이 존재함을 확인한다.
• 스펙트럼 매핑 정리는 비틀린 랜덤 워크의 고유값과 비틀린 셰게디 워크의 고유값의 실수부 사이에 직접적인 대응관계를 설정한다.