[논문 리뷰] Spectral approximation of aperiodic Schrödinger operators

Siegfried Beckus|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 67인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복소수 다항식 $p$에 대해 연산자 노름 $\|p(A_t, A_t^*)\|$의 균일한 호일더 연속성에 의해 스펙트럼 사상 $\Sigma: T \to K(\mathbb{C})$, $t \mapsto \sigma(A_t)$의 연속성을 특성화하여 비정현 슈뢰딩거 연산자에 대해 스펙트럼 연속성을 확립한다. 주요 결과는 일반화된 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼이 기저 다이나믹스 시스템의 변화에 대해 연속적으로 변동함을 증명하며, 기호 동역학에서의 보편적 다이나믹스 시스템과 워드북 구성에 의해 주기적 연산자로의 근사가 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

We study the (Hölder-)continuous behavior of the spectra belonging to a family of linear bounded operators $(A_t)_{t\in T}$ indexed by a topological space $T$. For the cases of self-adjoint, unitary and normal operators, a characterization of the continuity of $Σ:T o \mathcal{K}(\mathbb{R}), t\mapsto σ(A_t),$ is proven while the distance of the spectra is measured by the Hausorff metric. If $T$ is a metric space, the Hölder-continuous behavior of $Σ$ is characterized for self-adjoint and unitary operators. Here we observe interesting effects, namely the rate of convergence is bisect whenever spectral gaps closes. Based on this, we provide a tool to prove the continuity of the spectra for large classes of operators. In particular, we apply this theory to generalized Schrödinger operators and show that the continuity of the spectra is characterized by the continuous variation of the underlying dynamical systems. Finally, we analyze the existence of periodic dynamical systems approximating a given dynamical system. This leads to periodic approximations of the corresponding Schrödinger operators by the previously developed theory. We prove that local symmetries of the patterns and the presence of a substitution is a sufficient criteria for periodic approximations of subshifts in $\mathbb{Z}^d$. For $d=1$, a characterization is proven for the existence of periodic approximations. For these approaches, the notion of a dictionary is further developed and defined independently of a given configuration. We prove that the set of dictionaries equipped with the local pattern topology is homeomorphic to the space of subshifts. This yields a useful tool to analyze these systems. Furthermore, it delivers the connection of the existence of periodic orbits in a subshift of finite type and the existence of periodic approximations for subshifts.

연구 동기 및 목표

• 비정현, 고차원 설정에서 비정현 슈뢰딩거 연산자에 대한 스펙트럼 연속성 문제를 다루기.
• 가장자리 연산자 $A_t$의 가중치에 대한 스펙트럼 사상 $\Sigma: T \to K(\mathbb{C})$, $t \mapsto \sigma(A_t)$의 연속성을 특성화하기.
• 기저 다이나믹스 시스템의 변화에 따라 스펙트럼 갭이 열리거나 닫히지 않도록 보장하는 조건을 설정하기.
• 일반화된 슈뢰딩거 연산자를 주기적 근사자로 근사하는 일반적 프레임워크 제공하기.
• 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼 행동과 다이나믹스 시스템 내 불변 집합의 위상 기하학 간의 연결 고리 설정하기.

제안 방법

• 복소수의 컴acts 부분집합에 대한 하우스도르프 거리로 스펙트럼 수렴 정의하기.
• 복소수 다항식 $p$에 대해 연산자 노름 $\|p(A_t, A_t^*)\|$의 균일한 호일더 연속성으로 $\Sigma$의 연속성 특성화하기.
• 특히 [LR01]에서 제시된 프레임워크를 활용해 연속적 필드의 $C^*$-대수 이론을 적용하여 스펙트럼 연속성과 $C^*$-대수적 구조의 연결 고리 설정하기.
• 보편적 다이나믹스 시스템 $(X_u, G, \alpha)$과 그 연관된 보편적 군oids $\Gamma_u$를 구성하여 위상적 및 다이나믹스 데이터를 코딩하기.
• 기호 동역학에서 '워드북' 개념을 도입하여 국소 패턴을 통해 불변 부분집합을 매개변수화하기.
• 티에츠의 정리와 우리소른의 정리를 활용해 컴acts 지지집합을 가진 연속 함수를 구성하여 근사 기법 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 가중치 $A_t$의 스펙트럼 연속성은 어떻게 연산자 노름 행동에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 기저 다이나믹스 시스템의 변화에 따라 스펙트럼 갭이 열리거나 닫히지 않도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 비정현, 고차원 시스템에서의 일반화된 슈뢰딩거 연산자는 수렴하는 스펙트럼을 갖는 주기적 연산자로 근사될 수 있는가?
• RQ4 불변 부분집합 $Y \in IG(X)$의 위상 기하학은 $H_Y$의 스펙트럼 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 유한형 하위시프의 하위시프에 주기적 원소의 조밀 집합이 존재하는가와 주기적 연산자에 의한 스펙트럼 근사 사이에 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 스펙트럼 사상 $\Sigma: IG(X) \to K(\mathbb{C})$, $Y \mapsto \sigma(H_Y)$는 $\mathbb{C}$의 컴acts 부분집합에 대한 하우스도르프 거리에 대해 연속적이다.
• 불변 집합의 수열 $Y_n \to Y$가 하우스도르프 위상에서 성립함과 동시에 $\sigma(H_{Y_n}) \to \sigma(H_Y)$가 하우스도르프 거리에서 성립함이 서로 동치이다.
• 기호 동역학 시스템의 하위시프에 정의된 일반화된 슈뢰딩거 연산자는 강한 연산자 위상에서 주기적 슈뢰딩거 연산자로 근사 가능하다.
• 기저 다이나믹스 시스템이 불변 집합에서 하우스도르프 위상에서 수렴할 경우 스펙트럼 수렴이 보장된다.
• 보편적 다이나믹스 시스템과 그 군oids 구조의 구성은 $C^*$-대수 $C^*(A_t, I_t)$가 연속적 필드의 $C^*$-대수를 이룬다는 것을 보장한다.
• 스펙트럼 연속성은 $C^*$-대수 $C^*(A_t, I_t)$가 연속적 필드를 이룰 때에만 성립하며, 깊이 있는 구조적 특성화를 제공한다.