[논문 리뷰] Spectral criteria for solutions of evolution equations and comments on reduced spectra

Bolis Basit, G Hans|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 10.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유계 가측 함수 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ 에 대해 함수류 $\mathcal{F} \subset L^1_{\text{loc}}(J, \mathbb{X})$ 에 대한 감소 스펙트럼 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 의 개념을 재검토하며, 이러한 스펙트럼이 $\phi$ 와 $\mathcal{F}$ 가 유계 유일연속 함수 공간에 있을 경우를 제외하고는 Carleman 스펙트럼을 통해 복원될 수 없다는 것을 증명한다. 진화방정식 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ 의 유계 온건한 해에 대한 스펙트럼 기준을 수립하여, 해가 거의 아미오토모픽임과 동시에 $\phi$ 의 감소 스펙트럼이 공집합임이 서로 동치임을 보인다.

ABSTRACT

We revisit the notion of reduced spectra $sp_{\Cal {F}} (ϕ)$ for bounded measurable functions $ϕ\in L^{\infty} (J,\Bbb{X})$, ${\Cal {F}}\subset L^1_{loc}(J,\Bbb{X})$. We show that it can not be obtained via Carleman spectra unless $ϕ\in BUC(J,\Bbb{X})$ and ${\Cal {F}} \subset BUC(J,\Bbb{X})$. In section 3, we give two examples which seem to be of independent interest for spectral theory. In section 4, we prove a spectral criteria for bounded mild solutions of evolution equation (*) $\frac{d u(t)}{dt}= A u(t) + ϕ(t) $, $u(0)=x\in \Bbb{X}$, $t\in {J}$, where $A$ is a closed linear operator on $\Bbb{X}$ and $ϕ\in L^{\infty} ({J}, \Bbb{X})$ where $ {J} \in\{ _+, \}$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ 에 대해 감소 스펙트럼 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 를 Carleman 스펙트럼으로 표현할 수 있는 조건을 명확히 하기 위해.
• 진화방정식의 맥락에서 스펙트럼 이론을 통해 감소 스펙트럼을 특성화할 수 있는 조건을 조사하기 위해.
• 진화방정식 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ 의 유계 온건한 해의 존재성과 정규성(특히 거의 아미오토모픽 성질)에 대한 스펙트럼 기준을 수립하기 위해.
• 함수류의 구조와 그 불변성 성질에 관해 독립적인 관심을 가진 두 가지 예를 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 $L^1$ 함수와의 컨볼루션 및 앙니힐레이터 조건을 이용해 감소 스펙트럼 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 를 정의한다: $\lambda \in \mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 이다 ⇔ 모든 $f \in L^1(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ 에 대해 $\Phi * f|_J \in \mathcal{F}$ 이면 $\hat{f}(\lambda) = 0$ 이다.
• 이동에 대한 불변성, 균일 수렴성, BUC-불변성 등의 성질을 갖는 함수류 $\mathcal{F}$ 의 구조를 분석하며, $\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ 와 $\Delta$-조건 등의 성질을 사용한다.
• 온건한 해의 스펙트럼 기준은 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 가 0이 되는 것과 해 $u(t)$ 가 거의 아미오토모픽임이 동치임을 연결하여 유도한다. 이는 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이면 $u \in \mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ 임을 의미한다.
• 조화 분석 도구를 활용하여 스펙트럼 불변성 분석을 수행한다. 이들 도구로는 푸리에 변환 $\hat{f}(\lambda) = \int_{-\infty}^\infty e^{-i\lambda t} f(t) dt$ 와 평균화 연산자 $M_h \psi(t) = \frac{1}{h} \int_0^h \psi(t+s) ds$ 가 포함된다.
• 증명은 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이다 ⇔ $\phi \in \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ 이다 는 등가성에 기반한다. 이는 $\phi$ 가 평균 에르고딕 평균의 폐포에 속해 있음을 의미한다.
• 함수류 $\mathcal{F}$ 가 유계 선형 연산자 $B \in \mathcal{L}(\mathbb{X})$ 에 대해 불변이며, $\mathcal{F}$ 가 양수성을 갖는다는 사실을 이용해 스펙트럼 포함 및 불변성 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ 에 대해 감소 스펙트럼 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 가 Carleman 스펙트럼으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 진화방정식 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ 의 온건한 해 $u(t)$ 가 거의 아미오토모픽임과 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이 동치가 되는 경우는 언제인가?
• RQ3 $\mathcal{F} \subset L^1_{\text{loc}}(J, \mathbb{X})$ 에 대해 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 가 $\mathbb{R}$ 에서 잘 정의되고 닫혀 있는 데 필요한 충분조건은 무엇인가?
• RQ4 이동 불변성, 균일 수렴성, BUC-불변성 등의 $\mathcal{F}$ 의 불변성 성질이 $\phi$ 의 스펙트럼 성질에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 유계 온건한 해에 대한 스펙트럼 기준이 $\mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ 를 초월하여 $\mathrm{AP}(\mathbb{X})$ 나 $C_0(J, \mathbb{X})$ 와 같은 다른 함수류로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 감소 스펙트럼 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi)$ 는 $\phi \in \mathrm{BUC}(J, \mathbb{X})$ 이고 $\mathcal{F} \subset \mathrm{BUC}(J, \mathbb{X})$ 이어야만 Carleman 스펙트럼으로 복원될 수 있으며, 이는 이 맥락에서 Carleman 방법의 근본적인 한계를 보여준다.
• 모든 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ 에 대해 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이다 ⇔ $\phi \in \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ 이다. 이는 스펙트럼의 소멸성과 평균 에르고딕성 사이의 핵심적 연결 고리를 확립한다.
• $\mathcal{F}$ 가 $\mathrm{BC}(J, \mathbb{X})$ 의 닫힌, 양수성 불변 선형 부분공간이고 $\phi \in \mathcal{F}$ 이며 $\phi'$ 가 균일 연속이라면 $\phi' \in \mathcal{F}$ 이다. 이는 미분에 대한 강한 불변성의 예를 보여준다.
• 진화방정식 $\frac{du}{dt} = Au(t) + \phi(t)$ 의 유계 온건한 해에 대한 스펙트럼 기준은 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이다 ⇔ 해 $u(t)$ 가 거의 아미오토모픽이다, 즉 $u \in \mathrm{VAA}(\mathbb{X})$ 이다. 이는 $\mathcal{F}$ 가 $\Delta$-조건을 만족하고 균일 수렴함을 전제로 한다.
• 저자들은 독립적인 관심을 가진 두 가지 예를 제시한다. 첫 번째는 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이다 해도 $\phi \in \mathrm{MF}$ 가 되지 않으며, 이는 $\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}$ 여야 함을 보여준다. 두 번째 예는 Carleman 방법으로 스펙트럼 복원이 실패함을 보여준다.
• $\mathcal{F} \subset \mathrm{MF}(J, \mathbb{X})$ 이면 모든 $\phi \in L^\infty(J, \mathbb{X})$ 에 대해 $\mathrm{sp}_{\mathcal{F}}(\phi) = \emptyset$ 이지만, 그 역은 추가적인 정규성 조건이 없으면 성립하지 않으며, 이는 반례 $\phi = g$, $\mathcal{F} = g \cdot \mathrm{AP}(\mathbb{C})$ 로 보여진다.