[논문 리뷰] Spectral Discovery of Continuous Symmetries via Generalized Fourier Transforms

Pavan Karjol, Kumar Shubham외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 07.

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한 줄 요약

논문은 연속 한 매개변수의 대칭성을 spectral 희소성을 탐지하고, 입력을 불변 평면에 정렬하며 공진 기반 정규화를 사용해 잠재 생성기를 복원하고 예측 매핑을 학습하는 Generalized Fourier Transform 기반 프레임워크를 도입한다.

ABSTRACT

Continuous symmetries are fundamental to many scientific and learning problems, yet they are often unknown a priori. Existing symmetry discovery approaches typically search directly in the space of transformation generators or rely on learned augmentation schemes. We propose a fundamentally different perspective based on spectral structure. We introduce a framework for discovering continuous one-parameter subgroups using the Generalized Fourier Transform (GFT). Our central observation is that invariance to a subgroup induces structured sparsity in the spectral decomposition of a function across irreducible representations. Instead of optimizing over generators, we detect symmetries by identifying this induced sparsity pattern in the spectral domain. We develop symmetry detection procedures on maximal tori, where the GFT reduces to multi-dimensional Fourier analysis through their irreducible representations. Across structured tasks, including the double pendulum and top quark tagging, we demonstrate that spectral sparsity reliably reveals one-parameter symmetries. These results position spectral analysis as a principled and interpretable alternative to generator-based symmetry discovery.

연구 동기 및 목표

• 활동 그룹이 알려지지 않은 상태에서 잠재 연속 대칭성의 자동 발견 동기를 부여한다.
• 1-매개변수 부분군을 식별하기 위한 GFT를 이용한 스펙트럴 프레임워크를 제안한다.
• 최대 토러스 푸리에 특성과 공진 기반 규제화를 갖춘 아키텍처를 개발한다.
• 합성 및 실제 작업에서 예측 성능의 개선과 해석 가능한 대칭 회복을 보여준다.

제안 방법

• 잠재 생성기 B를 실수 정규 분해 B=Q(⊕k λk J)Qᵀ로 매개화하고 Q와 {λk}를 엔드-투-엔드로 학습한다.
• 학습 가능한 직교 변환 Q를 적용해 입력을 불변 평면과 정렬하여 2D의 블록 zk를 얻는다.
• 정렬된 좌표에서 토러스 푸리에 특성을 구성하고 기저 주파수 방향 m에 대해 원시 방향 벡터 m인 제한된 격자에서 U(x)= {ẑm(x)}를 사용한다.
• μ∑m (Cm⟨m,λ⟩)²를 통해 공진이 아닌 푸리에 모드를 벌하하는 공진 규제자(regulator)를 도입하여 스펙트럴 희소성을 촉진한다.
• 스펙트럼 특성과 반지름 R(x)를 예측자 φw에 입력해 출력을 매핑한다.
• 표준 예측 손실과 공진 규제를 최소화하도록 학습하여 잠재 대칭 매개변수(Q, λ)를 복원한다.

Figure 1: Symmetry discovery and learning framework. The input is first aligned via a learnable orthogonal transformation $Q\in SO(n)$ and decomposed into two-dimensional blocks, which are converted to polar coordinates to obtain radii and torus angles. Primitive torus Fourier features $U(x)$ , toge

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴(GFT) 관점이 데이터의 잠재적 1-매개변수 부분군을 드러낼 수 있는가?
• RQ2 데이터로부터 예측 매핑과 대응하는 대칭 생성기를 동시에 학습할 수 있는가?
• RQ3 입력을 불변 평면에 정렬하고 공진을 강제하는 것이 대칭 회복의 정확성과 일반화에 기여하는가?
• RQ4 연속 회전 대칭을 포착하는 데 최대 토러스 푸리에 특성이 얼마나 효과적인가?
• RQ5 제안된 방법이 예측성과 해석 가능성 측면에서 증강 기반 대칭 발견 방법과 비교하여 어떤 차이가 있는가?

주요 결과

방법	테스트 MSE ↓	불변성 오차 ↓	코사인 유사도 ↑
Spectral Discovery	0.00298 ± 0.00024	0.00070 ± 0.00027	0.9999 ± 0.00001
Augerino	0.01053 ± 0.00040	0.00232 ± 0.00025	0.9233 ± 0.0708

• 스펙트럴 디스커버리(Spectral Discovery)는 평가된 과제에서 실제 회전 대칭과 거의 완벽하게 일치하는 정렬을 달성했다(코사인 유사도 ≈ 1.0).
• 더블 펜듈럼 과제에서 Spectral Discovery는 Augerino에 비해 테스트 MSE 및 불변성 오차를 현저히 낮게 달성했고 코사인 유사도는 ≈ 0.9999에 근접했다.
• 토프 쿵(톱 퀴크 태깅)에서 Spectral Discovery는 정확도를 향상시키고 생성기 회복이 거의 완벽에近해 코사인 유사도 ≈ 0.9999를 달성했다.
• 공진 기반 규제자와 토러스 푸리에 특성은 잠재적인 1-매개변수 대칭의 해석 가능하고 안정적인 회복을 가능하게 하면서 예측 성능도 경쟁력을 유지한다.

Figure 2: Recovered vs. True Rotational Generators. Comparison of the learned (left) and ground-truth (right) generators for (a) the Double Pendulum system (diagonal $\Delta(SO(2))$ generator) and (b) the Top Tagging task. Both learned generators demonstrate near-perfect alignment with the physical