[논문 리뷰] Spectral estimates for Ruelle transfer operators with two parameters and applications

Vesselin Petkov, Luchezar Stoyanov|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 잠재 함수의 호일더 및 리프시츠 정규성 조건 하에서 두 복소수 매개변수 $ s $ 및 $ z $ 를 가진 루엘 전이 연산자에 대한 스펙트럼 추정을 수립한다. 이는 수직 방향으로 연산자 노름의 지수적 감소를 증명함으로써 리만 제타함수 $ \zeta(s,z) $ 가 $ \operatorname{Re}(s) < P_f $ 영역으로의 비영의 해석적 계속성을 보장하며, $ s = s(z) $ 에서 단순극을 가짐을 보이고, 헨데이-오소리우 드 알메이다 합공식 및 가중 카운팅 함수 $ \pi_F(T) $ 의 점근적 추정에 이를 적용한다.

ABSTRACT

For $C^2$ weak mixing Axiom A flow $\\phi_t: M \\longrightarrow M$ on a Riemannian manifold $M$ and a basic set $\\Lambda$ for $\\phi_t$ we consider the Ruelle transfer operator $L_{f - s \ au + z g}$, where $f$ and $g$ are real-valued H\\"older functions on $\\Lambda$, $\ au$ is the roof function and $s, z$ are complex parameters. Under some assumptions about $\\phi_t$ we establish estimates for the iterations of this Ruelle operator in the spirit of the estimates for operators with one complex parameter (see \\cite{D}, \\cite{St2}, \\cite{St3}). Two cases are covered: (i) for arbitrary H\\"older $f,g$ when $|\\Im z| \\leq B |\\Im s|^\\mu$ for some constants $B &gt; 0$, $0 &lt; \\mu &lt; 1$ ($\\mu = 1$ for Lipschitz $f,g$), (ii) for Lipschitz $f,g$ when $|\\Im s| \\leq B_1 |\\Im z|$ for some constant $B &gt; 0$ . Applying these estimates, we obtain a non zero analytic extension of the zeta function $\\zeta(s, z)$ for $P_f - \\epsilon &lt; \\Re (s) &lt; P_f$ and $|z|$ small enough with simple pole at $s = s(z)$. Two other applications are considered as well: the first concerns the Hannay-Ozorio de Almeida sum formula, while the second deals with the asymptotic of the counting function $\\pi_F(T)$ for weighted primitive periods of the flow $\\phi_t.$

연구 동기 및 목표

• 호일더 및 리프시츠 정규성 조건 하에서 잠재 함수에 대해 두 복소수 매개변수 $ s, z \in \mathbb{C} $ 를 가진 루엘 전이 연산자 $ L_{f - s\tau + zg} $ 에 대해 균일한 스펙트럼 추정을 수립하는 것.
• 비판선 $ \operatorname{Re}(s) = P_f $ 를 초월하여 제타함수 $ \zeta(s,z) $ 의 해석적 계속성을 확장하여, $ s = s(z) $ 에서 단순극을 가지는 비영 계속성을 증명하는 것.
• 스펙트럼 추정을 활용하여 헨데이-오소리우 드 알메이다 합공식을 정밀화하고, 원시 주기의 가중 카운팅 함수 $ \pi_F(T) $ 의 점근적 추정을 도출하는 것.
• 통제된 허수 매개변수 성장 조건 하에서, 이전의 한 매개변수 스펙트럼 추정(예: [4], [20], [21])을 두 매개변수 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 흐름을 부분형식의 서브시프트 위의 스텝함수로 모델링하기 위해 마코프 분할 $ \mathcal{R} = \{R_i\} $ 과 관련된 파이오카레 사상 $ \mathcal{P} $ 를 사용하는 것.
• 무게 $ |b|^{-\epsilon} $ 를 가진 호일더 연속 함수 위에서 전이 연산자 $ \mathcal{L}_{abtz} $ 를 구성하여, 균일한 감쇠 $ \|\mathcal{L}_{abtz}^n h\|_{\beta,b} \leq C_3 |b|^\epsilon \rho_1^n $ 보장.
• 원래의 루엘 연산자 $ L_{f - (P+a+ib)\tau + zg} $ 를 $ C^\beta $-노름과 매개변수에 의존하는 무게를 가진 $ L_{f_t - (P+a+ib)\tau + zg_t} $ 의 연속체로 근사하는 것.
• 호일더 연속성에 의해 $ |f^n - f_t^n|_\beta $ 와 $ |g^n - g_t^n|_\beta $ 의 추정을 하여, $ C_4 n a_0 $ 이하로 bound하며, $ a_0 \to 0 $ 이 오차 성장을 통제.
• 허수 매개변수 성장을 $ |\operatorname{Im} z| \leq B |\operatorname{Im} s|^\mu $ 조건으로 통제하며, $ \mu < 1 $ 이고, 리프시츠 잠재 함수의 경우 $ \mu = 1 $.
• 스펙트럼 갭과 지수 감쇠 $ \rho_3^n $ (여기서 $ \rho_3 < 1 $) 를 $ |b|^\epsilon $-무게와 결합하여, $ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $ 를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호일더 정규성 조건과 통제된 허수 매개변수 성장 조건 하에서 두 복소수 매개변수를 가진 루엘 연산자에 대한 스펙트럼 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 동역학적 제타함수 $ \zeta(s,z) $ 는 비판선 $ \operatorname{Re}(s) = P_f $ 를 초월하여 비영의 해석적 계속성을 가지며, 그 특이점의 성격은 어떠한가?
• RQ3 스펙트럼 추정은 Axiom A 흐름의 맥락에서 헨데이-오소리우 드 알메이다 합공식을 어떻게 정밀화하는가?
• RQ4 두 잠재 함수의 영향을 받는 원시 주기의 가중 카운팅 함수 $ \pi_F(T) $ 의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 조건 $ |\operatorname{Im} z| \leq B |\operatorname{Im} s|^\mu $ (여기서 $ \mu < 1 $) 하에서, 루엘 전이 연산자의 연산자 노름이 $ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $ 를 만족하며, 이는 $ n $ 에 대해 균일하다.
• 리프시츠 잠재 함수의 경우, 조건 $ |\operatorname{Im} s| \leq B_1 |\operatorname{Im} z| $ 하에서 추정이 성립하며, 두 매개변수에 대해 균일한 스펙트럼 감쇠가 유지된다.
• 제타함수 $ \zeta(s,z) $ 는 영역 $ P_f - \epsilon < \operatorname{Re}(s) < P_f $ 와 $ |z| $ 가 작을 때 비영의 해석적 계속성을 가지며, $ s = s(z) $ 에서 단순극을 가진다.
• 스펙트럼 추정은 $ |b|^\epsilon $-가중 노름을 통해 오차 항을 통제함으로써 헨데이-오소리우 드 알메이다 합공식의 정밀화를 가능하게 한다.
• 가중 카운팅 함수 $ \pi_F(T) $ 의 점근적 행동은 $ \pi_F(T) \sim \frac{e^{P_f T}}{P_f T} $ 를 상위 항 이하의 수정항까지 만족하며, 이는 $ \zeta(s,z) $ 의 해석적 성질에서 유도된다.
• 이전의 한 매개변수 스펙트럼 추정(예: [20], [21])을 두 매개변수 설정으로 확장하였으며, $ s $ 와 $ z $ 의 허수 부분의 성장에 대해 명시적인 통제를 제공한다.