[논문 리뷰] Spectral extrema of graphs with fixed size: cycles and complete bipartite graphs

Mingqing Zhai, Huiqiu Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 04.

Graph theory and applications참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정된 크기 $m$를 가진 그래프가 특정 부분그래프, 특히 사이클과 완전 이분그래프를 포함할 수 있는 스펙트럼 조건을 조사한다. 스펙트럼 반경 $\rho(G)$를 분석함으로써 날카로운 임계값을 확립한다: $\rho(G) \geq \sqrt{m}$ 이면 $K_{2,r+1}$ 또는 $C_3^+$, $C_4^+$ 를 포함한다. 유일한 예외는 별 또는 완전 이분그래프일 경우이다. $\rho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ 이면 오목 다각형과 육각형을 포함한다. 유일한 예외는 책 그래프일 경우이다. $\rho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$ 이면 모든 사이클 $C_t$ ($t \leq 2k+2$) 를 포함하며, 극한 그래프로 완전 분할 그래프가 식별된다.

ABSTRACT

Nikiforov [Some inequalities for the largest eigenvalue of a graph, Combin. Probab. Comput. 179--189] showed that if $G$ is $K_{r+1}$-free then the spectral radius $ρ(G)\leq\sqrt{2m(1-1/r)}$, which implies that $G$ contains $C_3$ if $ρ(G)>\sqrt{m}$. In this paper, we follow this direction on determining which subgraphs will be contained in $G$ if $ρ(G)> f(m)$, where $f(m)\sim\sqrt{m}$ as $m ightarrow \infty$. We first show that if $ρ(G)\geq \sqrt{m}$, then $G$ contains $K_{2,r+1}$ unless $G$ is a star; and $G$ contains either $C_3^+$ or $C_4^+$ unless $G$ is a complete bipartite graph, where $C_t^+$ denotes the graph obtained from $C_t$ and $C_3$ by identifying an edge. Secondly, we prove that if $ρ(G)\geq{\frac12+\sqrt{m-\frac34}}$, then $G$ contains pentagon and hexagon unless $G$ is a book; and if $ρ(G)>{\frac12(k-\frac12)+\sqrt{m+\frac14(k-\frac12)^2}}$, then $G$ contains $C_t$ for every $t\leq 2k+2$. In the end, some related conjectures are provided for further research.

연구 동기 및 목표

• 고정된 크기 $m$를 가진 그래프에서 특정 부분그래프(사이클, 완전 이분그래프)를 유도하는 스펙트럼 반경 임계값을 규명하는 것.
• 고정된 정점 수에서의 니키포로프의 스펙트럼 투란 결과를 고정된 간선 수로 일반화하는 것.
• 사이클 $C_3$, $C_4$, $C_5$, $C_6$ 및 연속된 사이클에 대해 스펙트럼 경계에서 등호를 만족하는 극한 그래프를 식별하는 것.
• 연속된 사이클 포함 및 $B_{r+1}$-무자식 그래프에 대한 스펙트럼 조건에 대한 추측을 제안하고 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 고립된 정점 없이 $m$개 간선을 가진 그래프의 인접행렬에 대한 스펙트럼 반경 $\rho(G)$를 분석하는 것.
• 극한 그래프 이론과 고유값의 교차성 원리를 활용하여 $\mathcal{F}$-무자식 그래프에 대한 $\rho(G)$의 상한을 유도하는 것.
• 페르론-프로베니우스 정리와 고유벡터 분석을 적용하여 스펙트럼 경계에서 등호를 만족하는 극한 그래프를 특성화하는 것.
• 사이클 포함 임계값에 대해 극한 그래프로 간주되는 완전 분할 그래프인 $S_{n,k}$ 를 도입하는 것.
• 스펙트럼 반경과 경로 및 사이클 존재성 간의 관계를 열 합으로 표현하기 위해 함수 $f(A(G)) = A^2(G) - \frac{1}{2}(2k-1)A(G)$ 를 활용하는 것.
• 경로의 극한 수에 관한 레마 5.1(Erdős–Gallai)을 사용하여 $G[N(j^*)]$ 가 $P_{2k+1}$ 을 포함함을 보이고, 이는 $t \leq 2k+2$ 에 대해 $C_t$ 를 포함함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 $m$인 그래프에서 $K_{2,r+1}$ 의 존재를 유도하는 스펙트럼 반경의 임계값은 무엇인가요?
• RQ2 크기 $m$인 그래프가 $C_5$ 와 $C_6$ 를 모두 포함하기 위한 스펙트럼 조건은 무엇인가요?
• RQ3 크기 $m$인 그래프에서 모든 사이클 $C_t$ ($t \leq 2k+2$) 를 보장하는 스펙트럼 경계는 무엇인가요?
• RQ4 $\{C_3^+, C_4^+\}$-무자식 또는 $K_{2,r+1}$-무자식 그래프에 대해 $\rho(G) \leq \sqrt{m}$ 의 경계에서 등호를 만족하는 그래프는 무엇인가요?
• RQ5 $B_{r+1}$-무자식 그래프에 대해 스펙트럼 반경 임계값 $\sqrt{m}$ 이 유지될 수 있으며, 등호는 완전 이분그래프일 때에만 성립하는가요?

주요 결과

• 만약 $\rho(G) \geq \sqrt{m}$ 이면, $m \geq 16r^2$ 일 때 $G$ 는 $K_{2,r+1}$ 를 포함한다. 유일한 예외는 별일 경우이다.
• 만약 $\rho(G) \geq \sqrt{m}$ 이면, $m \geq 9$ 일 때 $G$ 는 $C_3^+$ 또는 $C_4^+$ 를 포함한다. 유일한 예외는 완전 이분그래프 또는 $S_7^3$, $S_8^2$, $S_9^1$ 일 경우이다.
• 만약 $\rho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ 이면, $m \geq 8$ 일 때 $G$ 는 $C_5$ 와 $C_6$ 를 모두 포함한다. 유일한 예외는 $G \cong S_{(m+3)/2, 2}$ 일 경우이다.
• 만약 $\rho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$ 이면, $G$ 는 모든 $t \leq 2k+2$ 에 대해 $C_t$ 를 포함한다. 등호는 $k=2$ 일 때 $S_{(m+3)/2, 2}$ 일 경우에만 성립한다.
• 스펙트럼 반경 $\rho(G) = \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ 를 만족하는 극한 그래프는 책 $S_{(m+3)/2, 2}$ 이며, 이는 경계의 날카로움을 확인한다.
• 추측 5.1은 $\rho(G) \geq \frac{k-1 + \sqrt{4m - k^2 + 1}}{2}$ 이면 모든 $C_t$ ($t \leq 2k+2$) 를 포함하며, 등호는 $G \cong S_{m/k + (k+1)/2, k}$ 일 때에만 성립함을 제안한다. 이는 일반적인 $k$ 에 대해 결과를 확장한다.