[논문 리뷰] Spectral-free estimation of L\\'evy densities in high-frequency regime

Céline Duval, Ester Mariucci|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 28.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레비 밀도를 고주파 설정에서 스펙트럼에 의존하지 않고 경로 기반 웨이블릿 기반 추정기로 제안하며, 레비–킨친 공식에 의존하지 않는다. 이는 유한 및 무한 변동 레비 과정에 대해 베소프 볼 위에서 최적의 비모수적 속도를 달성하며, 영점에서의 특이성과 브라운 운동 성분 존재에 대해 강건함을 보여준다.

ABSTRACT

We construct an estimator of the L\\'evy density of a pure jump L\\'evy process, possibly of infinite variation, from the discrete observation of one trajectory at high frequency. The novelty of our procedure is that we directly estimate the L\\'evy density relying on a pathwise strategy, whereas existing procedures rely on spectral techniques. By taking advantage of a compound Poisson approximation, we circumvent the use of spectral techniques and in particular of the L\\'evy--Khintchine formula. A linear wavelet estimator is built and its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\\geq 1$, over Besov balls. We recover classical nonparametric rates for finite variation L\\'evy processes and for a large nonparametric class of symmetric infinite variation L\\'evy processes. We show that the procedure is robust when the estimation set gets close to the critical value 0 and also discuss its robustness to the presence of a Brownian part.

연구 동기 및 목표

• 순수 점프 레비 과정의 고주파 이산 측정에서 레비 밀도를 추정하기 위한 스펙트럼 기반이 아니고 경로 기반의 방법을 개발한다.
• 특히 레비–킨친 공식에 의존하는 스펙트럼 기법의 한계를 극복하여 더 넓은 범주로의 점프 과정 적용을 가능하게 한다.
• 유한 및 무한 변동 레비 과정에 대해 베소프 볼 위에서 $L_p$ 손실 측면에서 이론적 성능 보장을 수립한다.
• 영점에서의 임계 특이점에 가까워질 경우 및 브라운 운동 성분 존재 시 추정기의 강건성을 확보한다.

제안 방법

• 스펙트럼 분해를 대체하기 위해 레비 과정의 복합 포아송 근사를 기본 도구로 사용한다.
• 이황 간격 내의 점프 수를 기반으로 선형 웨이블릿 추정기를 구성하며, 과정의 경로 기반 성질을 활용한다.
• 영점 주변의 국소화된 영역 $A(\rho)$로 추정 문제를 분해하고, 웨이블릿 계수를 사용해 밀도 $f$를 추정한다.
• bias와 variance를 웨이블릿 임계값 및 모멘트 경계를 통해 통제하며, $\mathbb{E}[\widehat{\lambda}_{n,\varepsilon}] \approx \lambda_\varepsilon$라는 사실을 활용한다.
• 랜덤 절단 및 표본 변동성 처리를 위해 농도 불등식과 조건부 모멘트 경계(레마 5를 통한)를 적용한다.
• 무한 가소성 법칙과 복합 포아송 측도 사이의 渐近 등가성(논문 [33]의 추론 8.8)을 활용해 근사 전략의 타당성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 기법을 피하고 특히 레비–킨친 공식을 회피하면서도 레비 밀도 추정이 가능할 수 있는가?
• RQ2 고주파 측정에서 경로 기반 웨이블릿 접근법을 사용해 $L_p$ 추정에 대해 달성 가능한 비모수적 속도는 무엇인가?
• RQ3 밀도가 영점 근처에서 폭발할 수 있는 무한 변동 레비 과정에 대해 추정기는 어떻게 작동하는가?
• RQ4 브라운 운동 성분 존재 또는 추정 영역이 영점에 가까워질 경우 추정기는 강건한가?

주요 결과

• 제안된 웨이블릿 기반 추정기는 유한 변동 레비 과정에 대해 베소프 볼 위에서 고전적인 비모수적 속도 $2^{-2Js}$를 달성한다.
• 대칭적 무한 변동 레비 과정의 광범위한 클래스에 대해 추정기는 최적의 속도 $2^{-2Js}$를 달성하며, 이는 최소 최대 하한과 일치한다.
• 추정 창 $A(\rho)$가 영점에 가까워질 경우에도 추정기는 강건하며, 이에 따라 $\varepsilon$-의존적 노름과 모멘트 경계를 통해 오차가 통제된다.
• 브라운 운동 성분 존재 시에도 추정기는 강건하며, 레비 트리플렛의 변형에 대한 $L_p$ 위험의 안정성이 입증된다.
• 웨이블릿 해상도 $J$, 표본 크기 $n$, 절단 수준 $\varepsilon$에 따라 $L_p$ 위험의 이론적 경계가 유도되었으며, $\mathbf{n}(\varepsilon)$ 및 $\widetilde{\bm{n}}(\varepsilon)$에 명시적인 의존성이 있다.
• 오차 분해는 편향과 분산 성분으로 나뉘며, 분산 항은 모멘트 부등식과 조건부 기대값 경계를 통해 통제된다.