[논문 리뷰] Spectral gap properties for linear random walks and Pareto's asymptotics for affine stochastic recursions

Yves Guivarc’h, Émile Le Page|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 26.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 위에서의 선형 랜덤 워크에 대한 스펙트럴 갭 성질을 확립하고, 약한 모멘트 조건 하에서 애फ인 스토케스틱 재귀의 정적 측도에 대한 파레토 유형 渐近적 성질을 도출한다. 마르코프 의존 행렬 곱의 복귀 정리, 반경 방향 푸리에 분석, 그리고 주된 리아풀로프 지수의 단순성과 결합하여, 정적 측도가 무한소에서 동차성을 띠며, 선형 성분의 분포와 애फ인 증분이 생성하는 준군의 영향을 받는 尾측도를 가지는 것으로 증명한다.

ABSTRACT

Let $V=\mathbb R^d$ be the Euclidean $d$-dimensional space, $μ$ (resp $λ$) a probability measure on the linear (resp affine) group $G=G L (V)$ (resp $H= \Aff (V))$ and assume that $μ$ is the projection of $λ$ on $G$. We study asymptotic properties of the iterated convolutions $μ^n *δ\_{v}$ (resp $λ^n*δ\_{v})$ if $v\in V$, i.e asymptotics of the random walk on $V$ defined by $μ$ (resp $λ$), if the subsemigroup $T\subset G$ (resp.\ $Σ\subset H$) generated by the support of $μ$ (resp $λ$) is "large". We show spectral gap properties for the convolution operator defined by $μ$ on spaces of homogeneous functions of degree $s\geq 0$ on $V$, which satisfy H{ö}lder type conditions. As a consequence of our analysis we get precise asymptotics for the potential kernel $Σ\_{0}^{\infty} μ^k * δ\_{v}$, which imply its asymptotic homogeneity. Under natural conditions the $H$-space $V$ is a $λ$-boundary; then we use the above results and radial Fourier Analysis on $V\setminus \{0\}$ to show that the unique $λ$-stationary measure $ρ$ on $V$ is "homogeneous at infinity" with respect to dilations $v ightarrow t v$ (for $t extgreater{}0$), with a tail measure depending essentially of $μ$ and $Σ$. Our proofs are based on the simplicity of the dominant Lyapunov exponent for certain products of Markov-dependent random matrices, on the use of renewal theorems for "tame" Markov walks, and on the dynamical properties of a conditional $λ$-boundary dual to $V$.

연구 동기 및 목표

• 선형 랜덤 워크에 관련된 콘볼루션 연산자에 대한 스펙트럴 갭 성질을 확립하기
• 잠재력 커널 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ 의 渐近적 성질 분석하기
• 약한 모멘트 조건 하에서 애फ인 스토케스틱 재귀의 정적 측도 $\rho$ 가 무한소에서 동차성을 띠는 것을 증명하기
• 선형 성분 $\mu$ 와 준군 $\Sigma$ 를 통해 $\rho$ 의 尾측도를 특성화하기
• 정적 측도의 반경 방향 구조를 분석하기 위해 이중 마르코프 경계 접근법 개발하기

제안 방법

• 프로젝티브 공간과 구면 공간에서의 전이 연산자 및 고유측도를 이용한 에르고딕 성질 분석
• 보편성 있는 섬유화된 마르코프 체인에 대한 복귀 정리를 적용하여 잠재력 커널의 渐近적 성질 유도하기
• 반경 방향 푸리에 분석을 $V \setminus \{0\}$ 에서 적용하여 무한소에서의 동차성 연구하기
• 마르코프 의존 랜덤 행렬 곱의 주된 리아풀로프 지수의 단순성 활용하기
• 초케트-디아니 성질과 $\lambda$-경계 및 이중 경계 간의 이중성 관계를 이용하여 꼬리 행동 제어하기
• 생성 함수의 해석적 계속 및 유리형 확장을 통한 모멘트 조건 설정 및 랑드의 보조정리에 의한 모순 유도하기

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 랜덤 워크의 잠재력 커널이 어떤 조건에서 渐近적 동차성을 보일 수 있는가?
• RQ2 애फ인 스토케스틱 재귀의 정적 측도는 무한소에서 어떻게 행동하는가? 그리고 그 꼬리 구조는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 홀더 유형의 정규성 조건 하에서, degree $s \geq 0$ 의 동차 함수에 대한 콘볼루션 연산자에 대해 어떤 스펙트럴 갭 성질이 성립하는가?
• RQ4 마르코프 의존 행렬 곱에 대한 복귀 정리는 무작위 보행의 渐近적 분석에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 애फ인 재귀의 정적 측도가 확대 $v \to tv$ 에 대해 어떤 의미에서 무한소에서 '동차성'을 띠는가?

주요 결과

• 잠재력 커널 $\sum_{k=0}^{\inyfty} \mu^k * \delta_v$ 는 무한소에서 渐近적 동차성을 띠며, 이는 꼬리가 거듭제곱 법칙에 따라 감소함을 의미한다.
• 자연스러운 조건 하에서, $V$ 상의 유일한 $\lambda$-정적 측도 $\rho$ 는 $t > 0$ 에 대해 확대 $v \to tv$ 에 대해 무한소에서 동차성을 띤다.
• $\rho$ 의 꼬리 측도는 본질적으로 선형 성분 $\mu$ 와 $\lambda$ 가 생성하는 준군 $\Sigma$ 에 의해 결정된다.
• 홀더 유형의 정규성 조건 하에서, degree $s \geq 0$ 의 동차 함수에 대한 콘볼루션 연산자에 대한 스펙트럴 갭 성질이 확립된다.
• 함수 $k(s) = \mathbb{E}[\|A\|^s]$ 는 $s > \alpha$ 에서 $k(s) > 1$ 이고, $\lim_{s \to \infty} k(s)^{1/s} = c > 1$ 를 만족하여, 반경 성분에 대한 유한한 지수 모멘트를 암시한다.
• 반경 성분의 유계성 가정을 통해 랑드의 보조정리를 이용해 모순을 도출함으로써, $\mathbb{E}[\langle R, u\rangle_+^s] < \infty$ 가 $s < \beta + \varepsilon$ 에 대해 성립함을 증명하였으며, 이는 유한한 모멘트 임계값 $\alpha$ 가 존재함을 확인한다.