[논문 리뷰] Spectral invariants with bulk, quasimorphisms and Lagrangian Floer theory

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 83인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 토폴로지에서 대량 변형된 스펙트럴 불변량을 도입하여, 양자 코homology 변형을 통한 해밀토니안 플로어 homology와 스펙트럴 불변량을 확장한다. 이는 스펙트럴 불변량, 심플렉틱 준상태, 준형사상, 그리고 라그랑주 플로어 이론 사이에 새로운 연결 고리를 설정하며, 컴acts 심플렉틱 다양체에서 비가산 많은 독립적인 준형사상의 존재를 증명하고, 특히 $S^2 \times S^2$와 토릭 다양체에서 새로운 라그랑주 교차 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper we first develop various enhancements of the theory of spectral invariants of Hamiltonian Floer homology and of Entovi-Polterovich theory of spectral symplectic quasi-states and quasimorphisms by incorporating \emph{bulk deformations}, i.e., deformations by ambient cycles of symplectic manifolds, of the Floer homology and quantum cohomology. Essentially the same kind of construction is independently carried out by Usher [Us4] in a slightly less general context. Then we explore various applications of these enhancements to the symplectic topology, especially new construction of symplectic quasi-states, quasimorphisms and new Lagrangian intersection results on toric manifolds. The most novel part of this paper is to use open-closed Gromov-Witten theory (operator $\frak q$ in [FOOO1] and its variant involving closed orbits of periodic Hamiltonian system) to connect spectral invariants (with bulk deformation), symplectic quasi-states, quasimorphism to the Lagrangian Floer theory (with bulk deformation). We use this open-closed Gromov-Witten theory to produce new examples. Especially using the calculation of Lagrangian Floer homology with bulk deformation in [FOOO3,FOOO4], we produce examples of compact toric manifolds $(M,ω)$ which admits uncountably many independent quasimorphisms $\widetilde{\operatorname{Ham}}(M,ω) o \mathbb R$. We also obtain a new intersection result of Lagrangian submanifolds on $S^2 imes S^2$ discovered in [FOOO6]. Many of these applications were announced in [FOOO3,FOOO4,FOOO6].

연구 동기 및 목표

• 환경 사이클을 사용한 대량 변형을 통합하여 심플렉틱 토폴로지에서 스펙트럴 불변량과 준상태 이론을 확장한다.
• 오픈-클로즈드 그로모프-위튼-플로어 이론을 통해 대량이 있는 스펙트럴 불변량과 라그랑주 플로어 이론 사이의 다리를 놓는다.
• 대량 변형된 스펙트럴 불변량을 사용하여 새로운 심플렉틱 준상태와 준형사상을 구성한다.
• 토릭 및 비토릭 심플렉틱 다양체에서 대량 변형된 플로어 호모로지에 기반한 새로운 라그랑주 교차 결과를 증명한다. 특히 $S^2 \times S^2$를 포함한다.
• 대량 변형된 플로어 호모로지에 의해 컴팩트 심플렉틱 다양체에서 비가산 많은 독립적인 준형사상의 존재를 입증한다.

제안 방법

• 빅 양자 코hom로지와 환경 사이클을 사용하여 대량 변형된 해밀토니안 플로어 호모로지를 및 스펙트럴 불변량을 개발한다.
• 오픈-클로즈드 그로모프-위튼-플로어 이론(연산자 $\mathfrak{q}$)을 적용하여 대량이 있는 스펙트럴 불변량과 라그랑주 플로어 호모로지 사이의 관계를 규명한다.
• 피우니히린 동형사상과 그 승법 성질을 사용하여 스펙트럴 불변량의 삼각 부등식과 $C^0$-연속성을 증명한다.
• 포oin카레 대칭과 플로어 호모로지 간의 대칭을 활용하여 스펙트럴 불변량과 준형사상 구성 간의 관계를 규명한다.
• 대량 변형을 적용한 시델 호모로지 사상을 사용하여 스펙트럴 불변량을 탐지하고, 이를 $c_1(M)$의 고유값과 연결한다.
• 필터링된 $A_\infty$-대수의 호크시드 코호모로지 구조를 활용하여 대수적 구조를 통해 스펙트럴 불변량을 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 환경 사이클을 통한 대량 변형을 통해 심플렉틱 다양체에서 스펙트럴 불변량을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 오픈-클로즈드 그로모프-위튼-플로어 이론은 스펙트럴 불변량과 라그랑주 플로어 이론을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 대량 변형된 스펙트럴 불변량을 사용하여 새로운 심플렉틱 준상태와 준형사상을 구성할 수 있는가?
• RQ4 비토릭 및 토릭 다양체에서 대량 변형된 플로어 호모로지에 기반한 새로운 라그랑주 교차 결과는 무엇인가?
• RQ5 결과로 도출된 준형사상의 기수와 독립성 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 논문은 대량 변형된 스펙트럴 불변량을 통해 컴팩트 심플렉틱 다양체에서 $\widetilde{\text{Ham}}(M,\omega) \to \mathbb{R}$로의 비가산 많은 독립적인 준형사상의 존재를 증명한다.
• 논문은 $S^2 \times S^2$의 라그랑주 토러스 $T(\rho)$에 대해 새로운 라그랑주 교차 결과를 확립하며, 스펙트럴 불변량을 통해 그 초중량성(superheaviness)을 보여준다.
• 스펙트럴 불변량을 통한 부분 심플렉틱 준상태 $\zeta_e^\mathfrak{b}$의 구성은 극한 존재성과 부분 준형사상 성질을 엄밀히 정당화한다.
• 논문은 준형사상 $\mu_e^\mathfrak{b}$의 결함 추정치를 제공하여 그가 호모모르피즘으로부터의 편차를 정량화한다.
• 토릭 다양체에서의 라그랑주 섬유는 대량 변형 하에 $\mu_e^\mathfrak{b}$-중량성임을 증명하며, 이는 토릭 다양체에서 칼라비 준형사상의 존재를 이끌어낸다.
• 스펙트럴 불변량은 첫 번째 체른 클래스 $c_1(M)$의 임계값과 고유값을 탐지하며, 위상수학적 불변량과 심플렉틱 기하학을 연결한다.