[논문 리뷰] Spectral mapping theorem of an abstract quantum walk

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 유니터리 진동 연산자 $U$ 와 그의 판별 자기수반 연산자 $T$ 사이의 스펙트럼을 연결하는 스펙트럼 매핑 정리를 제우코프스키 변환을 사용하여 추상 양자 산책에 대해 수립한다. 주요 결과는 유한 그래프를 초월하여 무한 그래프로 스펙트럼 매핑 정리를 확장하여 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ 를 증명하고, 시에르피ńsk스 라티스에서의 그로버 산책의 스펙트럼을 순수 점 스펙트럼으로서 칸토어 유사한 구조로 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

Given two Hilbert spaces, $\mathcal{H}$ and $\mathcal{K}$, we introduce an abstract unitary operator $U$ on $\mathcal{H}$ and its discriminant $T$ on $\mathcal{K}$ induced by a coisometry from $\mathcal{H}$ to $\mathcal{K}$ and a unitary involution on $\mathcal{H}$. In a particular case, these operators $U$ and $T$ become the evolution operator of the Szegedy walk on a graph, possibly infinite, and the transition probability operator thereon. We show the spectral mapping theorem between $U$ and $T$ via the Joukowsky transform. Using this result, we have completely detemined the spectrum of the Grover walk on the Sierpiński lattice, which is pure point and has a Cantor-like structure.

연구 동기 및 목표

• 스체지디 유형의 양자 산책에 대해 유한 그래프에서 무한 그래프로 스펙트럼 매핑 정리를 일반화하기.
• 제우코프스키 변환을 통해 유니터리 진동 연산자 $U$ 와 그의 판별 자기수반 연산자 $T$ 사이의 엄밀한 스펙트럼 대응을 수립하기.
• 시에르피ńsk스 라티스에서의 그로버 산책의 스펙트럼을 특성화하여, 이것이 순수 점 스펙트럼이며 칸토어 유사한 구조를 띤다는 것을 보여주기.
• 일반적인 무한 그래프로의 스펙트럼 분석의 적용 범위를 유한 그래프를 초월하여 추상 힐버트 공간 연산자들을 사용하여 확장하기.
• 양자 산책의 스펙트럼과 시스템의 확률적 장기적 행동 사이의 관계를 명확히 하기.

제안 방법

• 힐버트 공간 $\mathcal{H}$ 상에서 $S$ 를 유니터리 인볼루션, $d_A$ 를 $\mathcal{K}$ 로의 코이소메트리로 하여 추상 유니터리 연산자 $U = S(2d_A^*d_A - 1)$ 를 정의하기.
• 자기수반 수축 연산자인 판별 연산자 $T = d_A S d_A^*$ 를 $\mathcal{K}$ 상에서 정의하기.
• 스펙트럼을 연결하기 위해 제우코프스키 변환 $\varphi(x) = (x + x^{-1})/2$ 를 적용하여 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ 를 유도하기.
• 스펙트럼 이론과 함수해석학을 사용하여 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼에 대한 스펙트럼 대응을 유도하기.
• 연속 스펙트럼을 분석하기 위해 근사 고유벡터를 구성하고, 스펙트럼의 닫힘 성질을 이용하기.
• 이 틀을 시에르피ńsk스 라티스에 적용하여, 그로버 산책의 스펙트럼이 순수 점 스펙트럼이며 칸토어 유사한 구조를 띤다는 것을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 그래프에서의 진동 연산자 $U$ 와 판별 연산자 $T$ 사이의 스펙트럼 매핑 정리를 무한 그래프로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 무한 그래프에서의 그로버 산책의 스펙트럼과 기저가 되는 대칭 랜덤 워크의 스펙트럼 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 시에르피ńsk스 라티스에서의 그로버 산책은 국소화를 보이며, 만약 그렇다면 그 스펙트럼의 성격은 어떠한가?
• RQ4 $U$ 의 고유값 $\pm 1$ 은 어떻게 유래되며, $d_A$ 와 $S$ 의 핵에 대한 차원으로서 그 중복도는 어떻게 표현되는가?
• RQ5 제우코프스키 변환을 통해 $T$ 의 연속 스펙트럼을 이용하여 $U$ 의 연속 스펙트럼을 완전히 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 무한 그래프에 대해 일반적으로 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ 라는 스펙트럼 매핑 정리가 성립한다.
• 시에르피ńsk스 라티스에서의 그로버 산책의 스펙트럼이 순수 점 스펙트럼이며 칸토어 유사한 구조를 띤다는 것이 증명되었다.
• 연속 스펙트럼에 대해 $\sigma_{\sharp}(U) = \varphi^{-1}(\sigma_{\sharp}(T))$ 가 $\sharp = \text{c, ac, sc}$ 에 대해 성립하여, 연속 스펙트럼에 대한 스펙트럼 대응이 확장됨을 보였다.
• $U$ 의 고유값 $\pm 1$ 의 중복도는 $\dim \ker(d_A) \cap \ker(S \pm 1)$ 에 의해 결정되며, 고유공간 차원에 대한 명시적 공식이 제시되었다.
• $T$ 에 연속 스펙트럼이 없을 경우(예: $T$ 가 순수 점 스펙트럼만을 가질 경우), $U$ 도 순수 점 스펙트럼만을 가지며 국소화를 유도한다.
• 시에르피ńsk스 라티스의 경우 $T$ 가 순수 점 스펙트럼만을 가지므로, 유도된 그로버 산책 $U$ 도 순수 점 스펙트럼만을 가지며, 모든 초기 상태에서 국소화가 확인된다.